Tenseur d'ordre 2

Plaçons nous dans $\mathbbm$R³ et considérons un tenseur $\mathbbm$M d'ordre 2, c'est à dire un champ défini sur une partie Ω de $\mathbbm$R³ et à valeur dans $\cal {L}$($\mathbbm$R³), l'ensemble des opérateurs linéaires sur $\mathbbm$R³.

Ainsi, si ($\bf{e}{_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3})$ désigne la base canonique de $\mathbbm$R³, il est usuel d'exprimer un tenseur sous sa forme matricielle dans la base canonique en chaque point de Ω où il est défini :

$$\mathbbm$$M = $$\begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{pmatrix}$$

où chaque coefficient m_ij est une fonction scalaire défini sur Ω. Il est alors commode d'exprimer le tenseur comme une combinaison linéaire des applications linéaires canoniques, notées sous la forme d'un produit tensoriel

$$\bf{e}{_{i}\otimes\vec{e}_{j}$$

dont la représentation matricielle est la matrice nulle partout sauf le coefficient de la i-ème ligne j-ème colonne qui vaut 1. Par exemple,

$$\bf{e}{_{1}\otimes\vec{e}_{2}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Ainsi, on écrit

$$\mathbbm$$M = $$\sum_{{i= 1}}^{{3}}$$$$\sum_{{j= 1}}^{{3}}$$m_ij$$\bf{e}{_{i}\otimes \vec{e}_{j}.$$