Gradient d'un tenseur d'ordre 2

Par définition, la dérivée (ou le gradient) d'un tenseur en un point est un élément de $\cal {L}$($\mathbbm$R³,$\cal {L}$($\mathbbm$R³)). Or il existe une bijection naturelle entre $\cal {L}$($\mathbbm$R³,$\cal {L}$($\mathbbm$R³)) et $\cal {L}$($\cal {L}$($\mathbbm$R³),$\mathbbm$R³).

D'autre part, dans la base canonique (base fixe), on a naturellement

$${\frac{{\partial{}}}{{\partial{x_{i}}}}}$$$$\mathbbm$$M = ∇$$\mathbbm$$M  $$\bf{e}{_{i}.$$

Ce qui signifie que le gradient d'un tenseur peut se décomposer

∇$$\mathbbm$$M   = $${\frac{{\partial{}}}{{\partial{x_{1}}}}}$$($$\mathbbm$$M)⊗$$\bf{e}{_{1} + \frac{\partial{}}{\partial{x_{2}}}(\mathbbm{M}) \o... ...c{e}_{2} + \frac{\partial{}}{\partial{x_{2}}}(\mathbbm{M}) \otimes \vec{e}_{3}.$$