Table des matières

• Conventions et notations
  • Notations
  • Convention de sommation suivant les indices répétés
  • Notation des dérivées partielles
  • Indices et exposant Grecs ou Latins
  
  
• Algèbre linéaire : Espaces vectoriels et applications linéaires
  • Espaces vectoriels
    • Espace vectoriel : une présentation intuitive
    • Exemples d'espace vectoriel
    • Espace vectoriel : la définition
    • Sous-espace vectoriel
    • Indépendance linéaire: vecteurs libres, vecteurs liés
    • Produit d'espaces vectoriels
    • Cas des espaces $\mathbbm$Rⁿ et des espaces vectoriels réels de dimension finie
  • Application linéaire
    • Opérateurs linéaires
    • Quelques exemples d'espaces vectoriels et d'applications linéaires
  • Matrice d'une application linéaire
    • Bijection entre $\mathscr$L(X,$\mathbbm$R) et X
    • Norme d'une application linéaire
    • Produit de deux matrices et composition de deux applications linéaires
    • Changement de bases et Matrices de passage
  • Cas des opérateurs linéaires - Matrices carrés
    • Adjoint d'un opérateur linéaire
    • Partie symétrique et antisymétrique d'un opérateur linéaire de $\mathbbm$Rⁿ
  • Déterminant
    • Déterminant de n vecteurs de $\mathbbm$Rⁿ
    • Déterminant d'une matrice carré - Déterminant d'un opérateur linéaire
    • Règles de calcul d'un déterminant - Développement suivant une ligne ou une colonne
  • Éléments de théorie spectrale
    • Spectre d'un opérateur linéaire
    • Réduction d'un opérateur linéaire
    • Cas des matrices symétriques définies positives
  • Annexe : quelques preuves
    • Preuve du théorème 1.2.4
    • Preuve du théorème 1.2.8
    • Preuve de la proposition 1.3.4
  
  
• Calcul différentiel
  • Éléments de topologie métrique
  • Fonctions continues de plusieurs variables
  • Fonction différentiable - Application dérivée
    • Cas des fonctions réelles définie sur un intervalle réel
    • Cas général
    • Matrice Jacobienne et dérivées partielles
  • Gradient, divergence, rotationnel
    • Gradient
    • Divergence
    • Rotationnel
    • Quelques remarques et propriétés des opérateurs différentiels
  • Dérivation le long d'une courbe - Dérivation partielle dans une direction
  • Fonction dérivée
  • Dérivée seconde
  • Principaux théorèmes sur les fonctions de plusieurs variables
  • Formule de Taylor
  • Extrema d'une fonction réelle
  • Coordonnées cylindriques et sphériques
    • Expressions en coordonnées Cylindriques
      • Cas d'une fonction à valeur réelle
      • Cas d'une fonction vectorielle
    • Expressions en coordonnées sphériques
  
  
• Intégrale de Riemann
  • Définition de l'intégrale de Riemann
  • Principales propriétés
  • Intégration et dérivation
  • Formule intégrale de Taylor
  • Intégrale sur un contour
  • Intégrale sur un pavé de $\mathbbm$Rⁿ.
  • Intégrale multiple - Formule de Jacobi
  
  
• Théorème de Stokes et Formule de la divergence
  • Formes différentielles
  • Différentielle d'une forme différentielle
  • Théorème de Stokes - Formule de la divergence
  • Formule de la divergence : définition
    • Cas où Ω est un domaine de $\mathbbm$R
    • Cas où Ω est un domaine de $\mathbbm$R²
    • Cas où Ω est un domaine de $\mathbbm$R³
    • Formules de Stokes
    • Formules de Green
  
  
• Calcul différentiel sur un tenseur d'ordre 2
  • Tenseur d'ordre 2
  • Gradient d'un tenseur d'ordre 2
  • Divergence d'un tenseur d'ordre 2
  • Tenseur en coordonnées cylindriques
  • Tenseur en coordonnées sphériques
  
  
• Systèmes différentiels ordinaires
• Fonction d'une variable complexe
  • Nombres Complexes
  • Fonctions holomorphes
    • Fonctions holomorphes
    • Conditions de Cauchy-Riemann
  • Suite et Séries de nombres complexes
  • Divers
    • Fonctions exponentielle et trigonométrique
  • Intégrales complexes
    • Formule intégrale de Cauchy
    • Série de Laurent
    • Théorèmes des résidus
    • Classification des Pôles singuliers
    • Représentation conforme
  
  
• Théorie restreinte de la mesure La mesure de Lebesgue
  • Ensemble élémentaire
    • Pavés et mesure d'un pavé
    • Ensemble élémentaire et mesure d'un ensemble élémentaire
  • Ensemble mesurable
    • Mesure extérieure
    • Ensemble mesurable
    • Mesure d'un ensemble mesurable
    • Ensemble de mesure nulle
  • Fonctions mesurables
    • Limites de fonctions continues
    • Propriétés des fonctions mesurables
    • Classe des fonctions nulles presque partout
  • Quelques remarques
    • Sur les fonctions non-mesurables
    • Sur la théorie abstraite de la mesure
  
  
• Intégrale de Lebesgue Théorème de convergence dominée
  • Fonctions étagées
    • Fonctions élémentaires
    • Fonctions étagées
    • Intégrale d'une fonction étagée
    • Intégrale de Lebesgue d'une fonction mesurable
  • Théorèmes de Lebesgue
    • Théorème de convergence monotone
    • Lemme de Fatou
    • Théorème de convergence dominée
    • Théorème de dérivation sous le signe intégral
    • Théorème de Fubini
  • Espaces $\mathbbm$L¹ et $\mathbbm$L²
  
  
• Transformation de Fourier des fonctions
  • Préliminaires
    • Quelques intégrales utiles
    • Espace $\mathscr$S($\mathbb {R}$ⁿ)
    • Produit de convolution
    • Suites régularisantes
  • Transformation de Fourier
  • Rapports avec la convolution
  • Exemples
  
  
• Introduction à la théorie des distributions
  • Introduction
  • Espace des fonctions infiniment dérivables à support compact
  • Théorie des distributions
    • Exemples de distributions
    • Dérivation des distributions
    • Opération sur les distributions
    • Convergence au sens des distributions
    • Support d'une distribution
  • Variantes des distributions
    • Distribution d'ordre finie
    • Distribution à support compact
    • Distribution tempérée
  • Produit de convolution de deux distributions
  
  
• Petite introduction à l'analyse fonctionnelle
  • Espace de Banach
    • Quelques caractérisations abstraites d'un espace de Banach
    • Quelques exemples d'espaces de Banach
    • Quelques exemples d'espaces qui ne sont pas des espaces de Banach
  • Espace de Hilbert
    • Quelques exemples d'espaces de Hilbert
    • Principaux résultats sur les Hilberts
  
  
• Index
• Bibliographie