Nombres Complexes

Définition 9.1.1   On peut définir l'ensemble des nombres complexes par

$$\mathbbm$$C = {(a, b)∈$$\mathbbm$$R² muni des somme et multiplication complexes}.

On pose i = (0, 1) et on note z = (a, b) = a + ib, a désigne alors la partie réelle et b désigne la partie imaginaire de z.

Définition 9.1.2   Les somme et multiplication complexes sont définies, pour z = a + ib et z^′ = a^′ + ib^′, par :

• z + z^′ = (a, b) + (a^′, b^′) = (a + a^′, b + b^′).
• zz^′ = (aa^′ - bb^′, ab^′ + a^′b).

Par exemple pour z = (0, 1) = i on a z² = zz = (0, 1)(0, 1) = (- 1, 0) = - 1.

Ainsi, à chaque point du plan de $\mathbbm$R² on fait correspondre un unique nombre complexe; C'est pourquoi on parle de plan complexe.

Figure 7.1: Un nombre complexe z = a + ib

Proposition 9.1.3   Pour tout nombre complexe z et z^′, on a

1. $\overline{{z+z^{\prime}}}$ = $\overline{{z}}$ + $\overline{{z^{\prime}}}$
2. $\overline{{zz^{\prime}}}$ = $\overline{{z}}$$\overline{{z^{\prime}}}$
3. z + $\overline{{z}}$ = 2Re(z) et z - $\overline{{z}}$ = 2iIm(z)
4. z$\overline{{z}}$ est réel et si z≠ 0, z$\overline{{z}}$ > 0

Définition 9.1.4   On appelle module de z le nombre réel positif $\left\vert\vphantom{{z}}\right.$z$\left.\vphantom{{z}}\right\vert$ = (z$\overline{{z}}$)^1/2.

Proposition 9.1.5   Soit z un nombre complexe non nul alors

$${\frac{{1}}{{z}}}$$ = $${\frac{{\overline{z}}}{{\left\vert{z}\right\vert^{2}}}}$$

Proposition 9.1.6   Soit z un nombre complexe

1. $\left\vert\vphantom{{\overline{z}}}\right.$$\overline{{z}}$$\left.\vphantom{{\overline{z}}}\right\vert$ = $\left\vert\vphantom{{z}}\right.$z$\left.\vphantom{{z}}\right\vert$
2. $\left\vert\vphantom{{zz^{\prime}}}\right.$zz^′$\left.\vphantom{{zz^{\prime}}}\right\vert$ = $\left\vert\vphantom{{z}}\right.$z$\left.\vphantom{{z}}\right\vert$$\left\vert\vphantom{{z^{\prime}}}\right.$z^′$\left.\vphantom{{z^{\prime}}}\right\vert$
3. $\left\vert\vphantom{{\mbox{\texttt{Re}}({z})}}\right.$Re(z)$\left.\vphantom{{\mbox{\texttt{Re}}({z})}}\right\vert$≤$\left\vert\vphantom{{z}}\right.$z$\left.\vphantom{{z}}\right\vert$ et $\left\vert\vphantom{{\mbox{\texttt{Im}}({z})}}\right.$Im(z)$\left.\vphantom{{\mbox{\texttt{Im}}({z})}}\right\vert$≤$\left\vert\vphantom{{z}}\right.$z$\left.\vphantom{{z}}\right\vert$
4. $\left\vert\vphantom{{z+z^{\prime}}}\right.$z+z^′$\left.\vphantom{{z+z^{\prime}}}\right\vert$≤$\left\vert\vphantom{{z}}\right.$z$\left.\vphantom{{z}}\right\vert$ + $\left\vert\vphantom{{z^{\prime}}}\right.$z^′$\left.\vphantom{{z^{\prime}}}\right\vert$

Proposition 9.1.7   Soient a₁,..., a_n et b₁,..., b_n des nombres complexes.

$$\left\vert\vphantom{ \sum_{j=1}^{n}a_{j}\overline{b_{j}}}\right.$$$$\sum_{{j=1}}^{{n}}$$a_j$$\overline{{b_{j}}}$$$$\left.\vphantom{ \sum_{j=1}^{n}a_{j}\overline{b_{j}}}\right\vert^{{2}}_{}$$≤$$\sum_{{j=1}}^{{n}}$$$$\left\vert\vphantom{{a_{j}}}\right.$$a_j$$\left.\vphantom{{a_{j}}}\right\vert^{{2}}_{}$$$$\sum_{{j=1}}^{{n}}$$$$\left\vert\vphantom{{b{j}}}\right.$$bj$$\left.\vphantom{{b{j}}}\right\vert^{{2}}_{}$$    (inégalité de Schwarz)

Nous terminons cette présentation par les propriétés principales de $\mathbbm$C :

Théorème 9.1.8   L'ensemble des nombres complexes, avec ses addition et multiplication complexes, possède une structure de corps. On parle de corps des nombres complexes.

Théorème 9.1.9   Le corps des nombres complexes est algébriquement clos.

Autrement dit, les solutions de toute équation algébrique à coefficients complexes sont encore des nombres complexes. Par exemple, le corps des réels $\mathbbm$R n'est pas algébriquement clos puisque l'équation x² + 1 = 0 ne possède pas de solutions réelles mais des solutions complexes.

Théorème 9.1.10   Soit P(z) = $\sum_{{0}}^{{n}}$a_izⁱ un polynôme de degré n à coefficients complexes. Alors P se factorise

P(z) = a_n$$\prod_{{1}}^{{n}}$$(z - r_i)

où les r_i sont les n racines de P (comptées avec leurs multiplicités).