Fonctions holomorphes

Fonctions holomorphes

Soit Ω une partie non vide du plan complexe $\mathbbm$C. Considérons une fonction f à valeur complexe définie sur Ω. Soit z₀∈Ω⊂$\mathbbm$C, on sait que f est différentiable en z₀, si il existe un nombre complexe, noté f^′(z₀) tel que :

f (z₀ + h) = f (z₀) + f^′(z₀)h + o(h).

Bien entendu si un tel nombre existe, il est égal à

f^′(z₀) = $$\lim_{{z\rightarrow z_{0}}}^{}$$$${\frac{{f(z)-f(z_{0})}}{{z-z_{0}}}}$$

C'est la dérivée de f au point z₀.

Pour z = (x, y) = x + iy, introduisons les notations :

$${\frac{{\partial{f}}}{{\partial{z}}}}$$ = $${\frac{{1}}{{2}}}$$$$\left(\vphantom{ \frac{\partial{f}}{\partial{x}} -i\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}\right.$$$${\frac{{\partial{f}}}{{\partial{x}}}}$$ - i$${\frac{{\partial{f}}}{{\partial{y}}}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{\partial{f}}{\partial{x}} -i\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}\right)$$,    $${\frac{{\partial{f}}}{{\partial{\overline{z}}}}}$$ = $${\frac{{1}}{{2}}}$$$$\left(\vphantom{ \frac{\partial{f}}{\partial{x}} +i\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}\right.$$$${\frac{{\partial{f}}}{{\partial{x}}}}$$ + i$${\frac{{\partial{f}}}{{\partial{y}}}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{\partial{f}}{\partial{x}} +i\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}\right)$$.

Définition 9.2.1   Si f est différentiable dans tout Ω, alors on dit que f est holomorphe (ou analytique) dans Ω si

$${\frac{{\partial{f}}}{{\partial{\overline{z}}}}}$$ = 0     dans Ω.

Par exemple, les fonctions analytiques sont évidemment holomorphes dans leurs domaines de convergence, mais aussi la fonction

f (z) = $${\frac{{1}}{{z-z_{0}}}}$$

est holomorphe dans $\mathbbm$C - B(z₀,$\varepsilon$), ou même dans $\mathbbm$C - {z₀}.

Par contre la fonction f (z) = $\left\vert\vphantom{{z}}\right.$z$\left.\vphantom{{z}}\right\vert$ n'est pas holomorphe dans aucune partie de $\mathbbm$C.

On a les propriétés suivantes :

Proposition 9.2.2   Si f et g sont holomorphes dans Ω, alors

• - f + g,
• - fg,

le sont aussi.

Proposition 9.2.3   Si f est holomorphe dans Ω et g est holomorphe dans f (Ω), alors la fonction composée (fog) est holomorphe dans Ω et :

(fog)^′ = g^′(f (z₀))f^′(z₀).

Conditions de Cauchy-Riemann

Théorème 9.2.4   Soit f une fonction complexe définie dans Ω⊂$\mathbbm$C, on décompose f suivant sa partie réelle P et sa partie imaginaire Q, avec z = (x, y) = x + iy :

f (z) = P(x, y) + iQ(x, y).

f est une fonction holomorphe si et seulement si P et Q satisfont aux conditions de Cauchy-Riemann :

$${\frac{{\partial{P}}}{{\partial{x}}}}$$ = $${\frac{{\partial{Q}}}{{\partial{y}}}}$$    et    $${\frac{{\partial{P}}}{{\partial{y}}}}$$ = - $${\frac{{\partial{Q}}}{{\partial{x}}}}$$.

Corollaire 9.2.5   Si f = P + iQ est holomorphe, alors les fonctions réelles P et Q sont nécessairement harmoniques.

Terminons par cette question que nous laissons au lecteur :

Existe-t-il une fonction définie sur une variable complexe qui soit différentiable mais pas holomorphe ?