Définition de l'intégrale de Riemann

Soit [a, b] un intervalle de $\mathbbm$R et soit {x₀,..., x_n+1} une subdivision ordonnée de [a, b] :

a = x₀≤x₁≤...≤ x_n+1 = b

On supposera de plus que $\max_{{k}}^{}$(x_k+1 - x_k) tends vers 0 lorsque n tends vers l'infini.

On pose pour toute fonction f définie sur [a, b] :

$$\overline{{I}}_{{n}}^{}$$(f )= $$\sum_{{k=0}}^{{n}}$$$$\sup_{{x\in[x_{k},x_{k+1}]}}^{}$$f (x)(x_k+1 - x_k)

$$\underline{{I}}_{{n}}^{}$$(f )= $$\sum_{{k=0}}^{{n}}$$$$\inf_{{x\in[x_{k},x_{k+1}]}}^{}$$f (x)(x_k+1 - x_k)

Définition 5.1.1   Soit f une définie sur [a, b], on dit qu'elle est Riemann-intégrable si pour toute subdivision ordonnée,

$$\lim_{{n\rightarrow \infty}}^{}$$$$\overline{{I}}_{{n}}^{}$$(f )= $$\lim_{{n\rightarrow \infty}}^{}$$$$\underline{{I}}_{{n}}^{}$$(f )

On note alors l'intégrale de f sur [a, b] par

$$\int_{{a}}^{{b}}$$f (x)dx = $$\lim_{{n\rightarrow \infty}}^{}$$$$\overline{{I}}_{{n}}^{}$$(f )= $$\lim_{{n\rightarrow \infty}}^{}$$$$\underline{{I}}_{{n}}^{}$$(f ).

Théorème 5.1.2   Une condition suffisante pour qu'une fonction soit Rieman-intégrable est qu'elle soit continue, ou continue par morceaux.