Principales propriétés

Proposition 5.2.1   Si f et g sont Riemann-intégrables alors f + g l'est également.

Proposition 5.2.2   Si f et g sont Riemann-intégrables alors fg l'est également.

Proposition 5.2.3   Si f (x)≤g(x)  ∀x∈[a, b] alors

$$\int_{{a}}^{{b}}$$f (x)dx≤$$\int_{{a}}^{{b}}$$g(x)dx.

Proposition 5.2.4   Relation de Chasles - Si f est Riemann-intégrable sur I⊂$\mathbbm$R,

$$\int_{{a}}^{{b}}$$f (x)dx = $$\int_{{a}}^{{c}}$$f (x)dx + $$\int_{{c}}^{{b}}$$f (x)dx    ∀a, b, c∈I

Proposition 5.2.5   Si f et g sont Riemann-intégrables sur [a, b] et que c est une constante, alors

$$\begin{aligned} \int_{a}^{b}cf(x)dx&=c\int_{a}^{b}f(x)dx\\ \in... ...)+g(x))dx &= \int_{a}^{b}f(x)dx +\int_{a}^{b}g(x)dx \end{aligned}$$

On retiendra en particulier que l'opérateur intégrale est une forme linéaire sur l'ensemble des fonctions Riemann-intégrables.

Proposition 5.2.6   Si $\left\vert\vphantom{{f}}\right.$f$\left.\vphantom{{f}}\right\vert$ est Riemann-intégrable sur [a, b] alors,

$$\left\vert\vphantom{{\int_{a}^{b}f(x)dx}}\right.$$$$\int_{{a}}^{{b}}$$f (x)dx$$\left.\vphantom{{\int_{a}^{b}f(x)dx}}\right\vert$$≤$$\int_{{a}}^{{b}}$$$$\left\vert\vphantom{{f(x)}}\right.$$f (x)$$\left.\vphantom{{f(x)}}\right\vert$$dx

On retiendra tout particulièrement le résultat fondamental :

Théorème 5.2.7   Changement de variable - Soit f une fonction Riemann-intégrable sur [a, b] et $\varphi$ une fonction dérivable définie sur [A, B] et telle que $\varphi$(A) = a et $\varphi$(B) = b

$$\int_{{a}}^{{b}}$$f (x)dx = $$\int_{{A}}^{{B}}$$f ($$\varphi$$(y))$$\varphi^{{\prime}}_{}$$(y)dy