Formes différentielles

Définition 6.1.1   Une k-surface Ω dans $\mathbbm$Rⁿ, est l'image par un difféomorphisme T d'un domaine D∈$\mathbbm$R^k à valeur dans $\mathbbm$Rⁿ. On dit que la k-surface est de classe C^m, si l'application T est de classe C^m.

On dit aussi que la k-surface Ω∈$\mathbbm$Rⁿ est une sous-variété de dimension k plongée dans $\mathbbm$Rⁿ.

Définition 6.1.2   On note

$$\sum$$ (6.1)

une k-forme différentielle ou forme différentielle d'ordre k, la forme linéaire qui à toute k-surface Ω∈$\mathbbm$Rⁿ de classe C¹, image par T de D∈$\mathbbm$R^k, fait correspondre la quantité :

$$\int_{{\Omega}}^{}$$ω = $$\int_{{D}}^{}$$$$\sum$$a_{i1,..., ik}(T(u))$$\left\vert\vphantom{{J_{T}(u)}}\right.$$J_T(u)$$\left.\vphantom{{J_{T}(u)}}\right\vert$$du

où

$$\left\vert\vphantom{{J_{T}(u)}}\right.$$J_T(u)$$\left.\vphantom{{J_{T}(u)}}\right\vert$$ = det$${\frac{{\partial(x_{i_{1}},\dots,x_{i_{k}})}}{{\partial(u_{1},\dots,u_{k})}}}$$

désigne le Jacobien de l'application (u₁,..., u_k)→(T_i1(u),..., T_ik(u)).

Remarque 6.1.3   Convention: une forme différentielle d'ordre 0 est une fonction.

Remarque 6.1.4   La notation (4.1) est unique si les x_ij sont numérotés et pris dans un ordre croissants.

On remarque que cette définition reprend simplement la formule de Jacobi de changement de variable dans les intégrale multiples, si bien que cette définition est indépendante du choix de D et de T.

Cette définition permet de généraliser la notion d'intégrale sur une courbe définie dans la section précédente. En effet, considérons un contour γ de $\mathbbm$R² défini par

γ = {(x, y)∈$$\mathbbm$$R²    (x, y) = (x(t), y(t)) = T(t)    t∈[a, b]}.

Et posons

ω = f (x, y)ds    avec    ds = $$\bf{t}{.\begin{pmatrix}dx dy\end{pmatrix},$$

où $\bf{t}{$ est la tangente unitaire à γ, on peut prendre

$$\bf{t}{ = \frac {1} { \sqrt{ (x^{\prime})^{2}+ (y^{\prime})^{2}}} \begin{pmatrix}x^{\prime} y^{\prime}\end{pmatrix}.$$

Alors, ω est la forme linéaire qui fait correspondre à γ l'intégrale de f sur γ:

$$\int_{{\gamma}}^{}$$ω = $$\int_{{\gamma}}^{}$$f (x, y)ds = $$\int_{{a}}^{{b}}$$f (x(t), y(t))$$\sqrt{{ (x^{\prime})^{2} + (y^{\prime})^{2}}}$$dt

Proposition 6.1.5   Dans $\mathbbm$Rⁿ une n + 1 forme différentielle est une forme nulle.