Différentielle d'une forme différentielle

La notation

ω = $$\sum$$a_{i1,..., ik}dx_i1∧...∧dx_ik

d'une forme différentielle provient de la définition du produit de deux formes différentielles :

Définition 6.2.1   Le produit extérieur des deux 1-formes différentielles dx et dy est la 2-forme différentielle dx∧dy. Elle est notée avec le symbole ∧.

Proposition 6.2.2   dx∧dy = - dy∧dx.

On généralise alors

Définition 6.2.3   Produit extérieur - On définit le produit extérieur de deux formes différentielles ω₁ et ω₂ par les règles de calcul :

1. ω₁∧ω₂ = - ω₂∧ω₁
2. ω₁∧(ω₂ + ω₃) = ω₁∧ω₂ + ω₁∧ω₃

Par exemple

(fdx∧dz)∧(gdx + hdy) = - hfdx∧dy∧dz.

Théorème 6.2.4   Il existe un opérateur nommé différentielle et noté d qui à toute k - 1 forme différentielle ω fait correspondre une k-forme différentielle dω avec les règles suivantes :

1. d (dω) = 0
2. df (x₁,..., x_n) = ∂_x1fdx₁ + ... + ∂_xnfdx_n
3. d$\left(\vphantom{f(x_{1},\dots,x_{n})dx_{i_{1}}\wedge \dots \wedge )dx_{i_{k}}}\right.$f (x₁,..., x_n)dx_i1∧...∧)dx_ik$\left.\vphantom{f(x_{1},\dots,x_{n})dx_{i_{1}}\wedge \dots \wedge )dx_{i_{k}}}\right)$ = df (x₁,..., x_n)∧$\left(\vphantom{dx_{i_{1}}\wedge \dots \wedge )dx_{i_{k}}}\right.$dx_i1∧...∧)dx_ik$\left.\vphantom{dx_{i_{1}}\wedge \dots \wedge )dx_{i_{k}}}\right)$

Ainsi, le produit d'une k₁-forme et d'une k₂ forme différentielle donne une (k₁ + k₂)-forme différentielle.