Suite et Séries de nombres complexes

Considérons la série

f (z) = $$\sum_{{0}}^{{\infty}}$$a_nzⁿ

où z∈$\mathbbm$C et a_n∈$\mathbbm$C. On définit le rayon de convergence R de la série f (z) par :

$${\frac{{1}}{{R}}} \lim_{{n\rightarrow \infty}}^{} \left\vert\vphantom{{a_{n}}}\right. \left.\vphantom{{a_{n}}}\right\vert^{{1/n}}_{}$$

$$\lim_{{n\rightarrow \infty}}^{} \left\vert\vphantom{{\frac{a_{n}}{a_{n-1}}}}\right. {\frac{{a_{n}}}{{a_{n-1}}}} \left.\vphantom{{\frac{a_{n}}{a_{n-1}}}}\right\vert$$

C'est à dire que la série diverge si $\left\vert\vphantom{{z}}\right.$z$\left.\vphantom{{z}}\right\vert$ > R et elle converge si $\left\vert\vphantom{{z}}\right.$z$\left.\vphantom{{z}}\right\vert$ < R. Le cas $\left\vert\vphantom{{z}}\right.$z$\left.\vphantom{{z}}\right\vert$ = R étant sujet à discussion.

Par ailleurs, cette convergence est normale et donc uniforme dans tout disque centré de rayon R^′ < R. Alors, d'après les théorèmes d'inversion des limites vus en premier cycle, on a

Proposition 9.3.1   ∀z, $\left\vert\vphantom{{z}}\right.$z$\left.\vphantom{{z}}\right\vert$ < R, la fonction d'une variable complexe f (z) est continue, infiniment $\mathbbm$C-dérivable, les dérivées s'obtenant en dérivant dans chaque terme de la série :

f^(k)(z) = $$\sum_{{0}}^{{\infty}}$$$${\frac{{(n+k)!}}{{(n)!}}}$$a_n+kzⁿ

On dit que f (z) est analytique dans {z∈$\mathbbm$C/$\left\vert\vphantom{{z}}\right.$z$\left.\vphantom{{z}}\right\vert$ < R}. Si f (z) est analytique dans $\mathbbm$C, on dit que f est entière.