Divers

A compléter : théormes des zéros isolés, principe du maximum, théorème d'Abel...

Fonctions exponentielle et trigonométrique

La fonction exponentielle est définie par

e^z = $$\sum_{{0}}^{{\infty}}$$$${\frac{{z^{n}}}{{n!}}}$$

dont le rayon de convergence est infinie.

En dérivant terme à terme, on a la propriété fondamentale :

Proposition 9.4.1  

$${\frac{{d}}{{dz}}}$$e^z = e^z

d'où on déduit, en écrivant le développement en série de Taylor de la série en z :

ez+z′

= ezez′

∀z, z′∈$$\mathbbm$$C.

(9.1)

Par ailleurs, on remarque que pour z = iθ, θ∈$\mathbbm$R on a

e^iθ = $$\sum_{{0}}^{{\infty}}$$$${\frac{{(-1)^{n}}}{{(2n+1)!}}}$$θ²ⁿ⁺¹ + i$$\sum_{{0}}^{{\infty}}$$$${\frac{{(-1)^{n}}}{{(2n)!}}}$$z²ⁿ,

c'est à dire la formule d'Euler :

e^iθ = cosθ + i sinθ.

On déduit que

$$\left\vert\vphantom{{e^{i\theta}}}\right.$$e^iθ$$\left.\vphantom{{e^{i\theta}}}\right\vert$$ = 1    ∀θ∈$$\mathbbm$$R.

Proposition 9.4.2   Tout nombre complexe z = a + ib peut s'écrire sous la forme

z = re^iθ    r∈$$\mathbbm$$R⁺, θ∈[0, 2π[

où r² = a² + b² est le module de z et θ = Arctan(b/a) est l'argument de z. Par suite, la fonction exponentielle est périodique de période 2π.

On peut définir les fonctions sin et cos d'une variable complexe

sinz = $$\sum_{{0}}^{{\infty}}$$$${\frac{{(-1)^{n}}}{{(2n)!}}}$$z²ⁿ    cosz = $$\sum_{{0}}^{{\infty}}$$$${\frac{{(-1)^{n}}}{{(2n+1)!}}}$$z²ⁿ⁺¹.

Remarquons qu'on a toujours

(sinz)² + (cosz)² = 1.