Espaces $\mathbbm$L¹ et $\mathbbm$L²

On note $\mathbbm$L¹ l'espace $\mathscr$L¹ pour lequel on a identifié toutes fonctions égales presque partout : Deux fonctions f et g sont égales dans $\mathbbm$L¹, si elles sont égales presque partout. On dit que $\mathbbm$L¹ est l'espace $\mathscr$L¹ quotientée par la relation d'équivalence ``égales presque partout''.

Ainsi, dans $\mathbbm$L¹(Ω), l'application

f→$$\int_{{\Omega}}^{}$$$$\left\vert\vphantom{{f}}\right.$$f$$\left.\vphantom{{f}}\right\vert$$

est une norme.

On notera la norme $\mathbbm$L¹ :

| f|_{$\mathbbm$L¹} = $$\int_{{\Omega}}^{}$$$$\left\vert\vphantom{{f}}\right.$$f$$\left.\vphantom{{f}}\right\vert$$

Théorème 11.3.1   Muni de sa norme naturelle, l'espace $\mathbbm$L¹(Ω) est complet. On dit que c'est un espace de Banach.

En mécanique, un espace fonctionnelle est particulièrement important: l'espace des fonctions de carré intégrable :

$$\mathscr$$L²(Ω) = $$\left\{\vphantom{ f \mbox{ mesurable sur }\Omega \;/\; \int_{\Omega} \left\vert{f}\right\vert^{2} < \infty}\right.$$f mesurable sur Ω  /  $$\int_{{\Omega}}^{}$$$$\left\vert\vphantom{{f}}\right.$$f$$\left.\vphantom{{f}}\right\vert^{{2}}_{}$$ < ∞$$\left.\vphantom{ f \mbox{ mesurable sur }\Omega \;/\; \int_{\Omega} \left\vert{f}\right\vert^{2} < \infty}\right\}$$.

L'espace quotient est notée de manière analogue par $\mathbbm$L²(Ω). On parle également d'espace d'énergie finie.

L'espace $\mathbbm$L²(Ω) est muni d'un produit scalaire

(f, g) = $$\int_{{\Omega}}^{}$$f$$\overline{{g}}$$

définissant une norme

| f|_{$\mathbbm$L^f} = (f, f )^1/2$$\left(\vphantom{ \int_{Omega}\left\vert{f}\right\vert^{2} }\right.$$$$\int_{{\Omega}}^{}$$$$\left\vert\vphantom{{f}}\right.$$f$$\left.\vphantom{{f}}\right\vert^{{2}}_{}$$$$\left.\vphantom{ \int_{Omega}\left\vert{f}\right\vert^{2} }\right)^{{1/2}}_{}$$.

Théorème 11.3.2   Muni de son produit scalaire induisant sa norme naturelle, l'espace $\mathbbm$L²(Ω) est complet. autrement dit, c'est un espace de Hilbert.

Les espaces de Sobolev dérivent de $\mathbbm$L²(Ω) et constituent le cadre mathématique des formulations variationnelles ou principe des puissance virtuelles en mécanique.