Intégrale de Lebesgue
Théorème de convergence dominée

C'est en 1901 que Henri Lebesgue a introduit sa définition de l'intégrale d'une fonction, dans une note parue aux comptes-rendus de l'Académie des Sciences.

Cette nouvelle construction est essentiellement due au fait que l'intégrale de Riemann présentait nombre de défauts. En particulier, elle est peu adaptée aux intégrales multiples ainsi que pour les passages à la limite.

Autre inconvénient majeur, l'espace des fonctions Riemann intégrables n'est pas complet, si bien que l'analyse sur ces fonctions fait intervenir des fonctions a priori non intégrables.

L'intégrale de Lebesgue basé sur la théorie de la mesure de Émile Borel répond à tous ces problèmes. C'est ce que nous allons exposer.

Dans toute la suite E représente une partie de $\mathbbm$Rⁿ. E peut être borné ou non.