Théorèmes de Lebesgue

Théorème de convergence monotone

Théorème 11.2.1   Soient f₁,..., f_n,... des fonctions mesurables positives sur E telles que

0≤f₁≤...≤f_n≤f_n+1≤...

Posons

f (x) = $$\sup_{{n}}^{}$$f_n(x).

Alors

$$\int_{{E}}^{}$$f_n→$$\int_{{E}}^{}$$f.

Preuve du théorème 9.2.1 : Posons

α_n = $$\int_{{E}}^{}$$f_n.

Alors, puisque la suite f_n est croissante, les α_n convergent vers une limite

α_n→α∈[0, + ∞].

Par définition f domine les f_n, ainsi

α≤$$\int_{{E}}^{}$$f.

Soit $\varphi$ une fonction étagée positive et dominée par f et soit 0 < a < 1. Si on pose

E_n = {x∈E    /    f_n(x)≥a$$\varphi$$(x)},

il est clair que E_n⊂E_n+1 et E = ∪_nE_n.
D'où pour tout n,

$$\int_{{E}}^{}$$f_n≥$$\int_{{E_{n}}}^{}$$f_n≥a$$\int_{{E_n}}^{}$$$$\varphi$$.

Autrement dit, pour tout $\varphi$ dominé par f et pour tout 0 < a < 1,

α≥$$\lim_{{n\rightarrow \infty}}^{}$$$$\int_{{E}}^{}$$f_n≥a$$\int_{{E}}^{}$$$$\varphi$$     $$\Longrightarrow$$     α≥$$\int_{{E}}^{}$$$$\varphi$$     $$\Longrightarrow$$     α≥$$\sup_{{\varphi}}^{}$$I_E($$\varphi$$) = $$\int_{{E}}^{}$$f.

Si bien qu'on a montré que

α = $$\int_{{E}}^{}$$f.    $$\Box$$

Lemme de Fatou

Une conséquence du théorème de convergence monotone 9.2.1 est le

Lemme 11.2.2   Soient f_n des fonctions mesurables sur E et positives. Si

f (x) = $$\lim_{{n\rightarrow \infty}}^{}$$inf f_n(x) = $$\lim_{{n\rightarrow \infty}}^{}$$$$\inf_{{i\geq n}}^{}$${f_i(x)},

alors

$$\int_{{E}}^{}$$f≤$$\lim_{{n\rightarrow \infty}}^{}$$$$\int_{{E}}^{}$$inf f_n.

Preuve du lemme de Fatou : Posons

g_n(x) = $$\inf_{{i\geq n}}^{}$${f_i(x)}.

Par définition,

0≤g₁(x)≤g₂(x)≤...≤g_n(x).

Alors, d'après le théorème 9.2.1 de convergence monotone,

$$\begin{aligned} \int_{E} f(x)dx &= \lim_{n\rightarrow \infty}\... ...infty}\inf_{i\geq n}\int_{E}f_{n}(x)dx. \quad \Box \end{aligned}$$

Théorème de convergence dominée

Théorème 11.2.3   Soient f_n∈$\mathscr$L¹(E), une suite de fonctions sommable sur E telles que

1. f_n(x)→f (x) p.p. sur E
2. $\left\vert\vphantom{{f_{n}}}\right.$f_n$\left.\vphantom{{f_{n}}}\right\vert$≤g∈$\mathscr$L¹(E)

Alors f∈$\mathcal {L}$¹(E) et

$$\lim_{{n\rightarrow \infty}}^{}$$$$\int_{{E}}^{}$$f_n(x)dx = $$\int_{{E}}^{}$$f (x)dx.

C'est le résultat central de la théorie de Lebesgue. Il en découle tous les théorèmes de passage à la limite.

Son avantage par rapport à la théorie classique de Riemann, c'est son énoncé valable pour tout type de domaine E pourvu qu'il soit mesurable. Son application est aisé puisqu'il ne demande qu'une domination.

De plus, c'est un résultat optimal

Preuve du théorème 9.2.3 de convergence dominée :
Puisque $\left\vert\vphantom{{f_{n}}}\right.$f_n$\left.\vphantom{{f_{n}}}\right\vert$≤g∈$\mathcal {L}$¹(E) cela signifie que f≤g et donc que f∈$\mathcal {L}$¹(E).

D'autre part, puisque f_n + g≥ 0, le lemme de fatou 9.2.2 indique

$$\int_{{E}}^{}$$f + g≤$$\lim_{{n\rightarrow \infty}}^{}$$inf$$\int_{{E}}^{}$$f_n + g.

Ce qui implique, en retranchant g :

$$\int_{{E}}^{}$$f≤$$\lim_{{n\rightarrow \infty}}^{}$$inf$$\int_{{E}}^{}$$f_n.

Mais on a également que g - f_n≥ 0 si bien que

$$\int_{{E}}^{}$$g - f≤$$\lim_{{n\rightarrow \infty}}^{}$$inf$$\int_{{E}}^{}$$g - f_n,

qui entraîne, toujours en retranchant g :

$$\int_{{E}}^{}$$ - f≤$$\lim_{{n\rightarrow \infty}}^{}$$inf$$\int_{{E}}^{}$$ - f_n

D'où

$$\int_{{E}}^{}$$f≥$$\lim_{{n\rightarrow \infty}}^{}$$sup$$\int_{{E}}^{}$$f_n.

En conclusion, on a montré que

$$\lim_{{n\rightarrow \infty}}^{}$$sup$$\int_{{E}}^{}$$f_n≤$$\lim_{{n\rightarrow \infty}}^{}$$inf$$\int_{{E}}^{}$$f_n

Cela prouve que la limite existe et que cette limite vaut

$$\lim_{{n\rightarrow \infty}}^{}$$$$\int_{{E}}^{}$$f_n(x)dx = $$\int_{{E}}^{}$$f (x)dx.    $$\Box$$

Théorème de dérivation sous le signe intégral

Théorème 11.2.4   Soit f (x, y) une fonction mesurable et dérivable par rapport à y pour presque tout x∈E, telle que cette dérivée partielle est mesurable dans E. Si

$$\left\vert\vphantom{{\frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}}}\right.$$$${\frac{{\partial{f(x,y)}}}{{\partial{y}}}}$$$$\left.\vphantom{{\frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}}}\right\vert$$≤g∈$$\mathcal {L}$$¹(E),

alors

$${\frac{{\partial{}}}{{\partial{y}}}}$$$$\int_{{E}}^{}$$f (x, y)dx = $$\int_{{E}}^{}$$$${\frac{{\partial{f(x,y)}}}{{\partial{y}}}}$$dx.

Théorème de Fubini

Théorème 11.2.5   Soit f une fonction mesurable dans le domaine Ω_x×Ω_y. Si 0≥f < + ∞ , et si

$$\varphi$$(x) = $$\int_{{\Omega_{y}}}^{}$$f (x, y)dy    ψ(y) = $$\int_{{\Omega_{x}}}^{}$$f (x, y)dx

alors $\varphi$ et ψ sont mesurables et

$$\int_{{\Omega_{x}}}^{}$$$$\varphi$$(x)dx = $$\int_{{\Omega_{y}}}^{}$$ψ(y)dy = $$\iint_{{ \Omega_{x}\times \Omega_{y}}}^{}$$f (x, y)dxdy

Théorème 11.2.6   Formule de Jacobi

$$\int_{{\Omega}}^{}$$f (x)dx = $$\int_{{D}}^{}$$f (T(u))$$\left\vert\vphantom{{J_{T}(u)}}\right.$$J_T(u)$$\left.\vphantom{{J_{T}(u)}}\right\vert$$du

où $\left\vert\vphantom{{J_{T}(u)}}\right.$J_T(u)$\left.\vphantom{{J_{T}(u)}}\right\vert$ est la Jacobienne (déterminant du gradient ou Jacobien) de l'application T(u) = x.