Préliminaires

Quelques intégrales utiles

Commençons par des valeurs remarquables (obtenues facilement en appliquant le théorème de Fubini au carré des intégrales recherchées):

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} \sqrt{{\pi}}$$ = (12.1)

$$\int_{{-\infty}}^{{+\infty}} {\frac{{x^2}}{2}} \sqrt{{2\pi}}$$ = (12.2)

$$\int_{{\mathbb R^n}}^{} {\frac{{\vert x\vert^2}}{2}} {\frac{{n}}{2}}$$ = (12.3)

Espace $\mathscr$S($\mathbb {R}$ⁿ)

Définition 12.1.1   $\mathscr$S($\mathbb {R}$ⁿ) est l'ensemble des fonctions f∈$\mathscr$C^∞($\mathbb {R}$ⁿ) telles que ∀α∈$\mathbbm$Nⁿ, ∀k∈$\mathbbm$N

$$\lim_{{\vert x\vert\rightarrow\infty}}^{}$$| x|^k| D_αf (x)| = 0

où on note | x| = $\sqrt{{\sum_i x_i^2}}$, α = (α₁,..., α_n) et

D_αf (x) = $${\frac{{\partial^{\left\vert{\alpha}\right\vert}f}}{{\partial x_1^{\alpha_1} \dots \partial x_n^{\alpha_n}}}}$$

On appelle $\mathscr$S($\mathbb {R}$ⁿ) l'ensemble des fonctions à décroissance rapide sur $\mathbb {R}$ⁿ. On l'appelle également espace de Schwarz. C'est un espace vectoriel.

Exemples.

• $\mathscr$D($\mathbb {R}$ⁿ)⊂$\mathscr$S, noté également par $\mathscr$C^∞₀($\mathbb {R}$ⁿ).
• e^-x2∈$\mathscr$S($\mathbb {R}$).
• e^{-| x|} n'est pas dans $\mathscr$S (non différentiable en 0).

Nous avons les définitions équivalentes :

Proposition 12.1.2   $\mathscr$S est l'ensemble des fonctions f définies sur $\mathbb {R}$ⁿ telles que

1. ∀α, ∀β, $\lim_{{\vert x\vert\rightarrow\infty}}^{}$| x^β∂^αf (x)| = 0    (si β = (β₁,..., β_n) on posex^β = x₁^{β₁ ...} x_n^β_n).
2. ∀α, ∀k, | x|^k|∂^αf (x)| soit bornée.
3. ∀α, ∀β, | x^β∂^αf (x)| soit bornée.
4. ∀α, ∀k, | x|^k|∂^αf (x)| soit Lebesgue-intégrable.
5. ∀α, ∀β, | x^β∂^αf (x)| soit intégrable.

Théorème 12.1.3   $\mathscr$S est dense dans $\mathbbm$L¹ et dans $\mathbbm$L².

Voir les suites régularisantes.

Produit de convolution

Soit f et g deux fonctions de $\mathbbm$L¹($\mathbbm$Rⁿ), alors Le produit de convolution de f et g est la fonction

f*g(x) = $$\int_{{\mathbbm{R}^{n}}}^{}$$f (x - y)g(y)dy.

Les principales propiétés du produit de convolution sont :

• Le produit est commutatif
• L'effet de régularisation : si D_αf est définie et appartient à $\mathbbm$L¹($\mathbbm$Rⁿ), alors
  D_α(f*g)(x) = D_αf*g(x)

Suites régularisantes

Soit la fonction ρ de classe C^∞ à support compact :

ρ(x) = $$\left\{\vphantom{ \begin{array}[l]{ll} e^{\frac{-1}{1-\left\vert{... ...{x}\right\vert\leq 1\\ 0 & \left\vert{x}\right\vert\geq 1 \end{array}}\right.$$$$\begin{array}[l]{ll} e^{\frac{-1}{1-\left\vert{x}\right\vert^2}} ... ...eft\vert{x}\right\vert\leq 1\\ 0 & \left\vert{x}\right\vert\geq 1 \end{array}$$

Alors la suite ρ_m(x) = ρ(mx) est une suite régularisante au sens que si f∈$\mathbbm$L¹($\mathbbm$Rⁿ) (resp. $\mathbbm$L²) alors, f_m = f*ρ_m est dans $\cal {S}$ est converge vers f dans $\mathbbm$L¹ (resp. dans $\mathbbm$L²).