Transformation de Fourier

Définition 12.2.1   Pour f∈$\mathbbm$L¹($\mathbbm$Rⁿ) et y∈$\mathbb {R}$ⁿ on pose

$$\hat{f} \int_{{\mathbbm{R}^{n}}}^{}$$ (12.4)

$\hat{f}$, notée aussi $\mathscr$Ff, s'appelle la transformée de Fourier de f. Elle existe car | e^-ix.yf (x)| < | f (x)| et f∈$\mathbbm$L¹.

Théorème 12.2.2   Soit f∈$\mathbbm$L¹, sa transformée de Fourier $\hat{f}$ est continue, bornée et tend vers 0 a l'infini.

Remarque 12.2.3   Pour une fonction f quelconque dans $\mathbbm$L¹, $\hat{f}$ n'est pas nécessairement dans  $\mathbbm$L¹

Lemme 12.2.4   La transformation de Fourier est ``invariante`` pour f (x) = e^{-${\frac{{\vert x\vert^2}}{2}}$} :

$$\mathscr$$F$$\left(\vphantom{e^{-\frac{\vert x\vert^2}2}}\right.$$e^{-${\frac{{\vert x\vert^2}}{2}}$}$$\left.\vphantom{e^{-\frac{\vert x\vert^2}2}}\right)$$(y) = (2π)^{${\frac{{n}}{2}}$}e^{-${\frac{{\vert{y}\vert^2}}{2}}$}.

Théorème 12.2.5   Pour toute fonction f∈$\mathscr$S et $\hat{f}$∈$\mathscr$S et nous avons les relations:

$$\widehat{{x^\alpha f}} \hat{f}$$ = (12.5)

$$\widehat{{\partial ^\alpha f}} \hat{f}$$ = (12.6)

$$\int \hat{f} \int \hat{\psi}$$ = (12.7)

La transformation de Fourier a donc la propriété fondamentale d'échanger les multiplications et les dérivations. Les propriétés précédentes restent valables tant qu'elles ont un sens.

Nous avons le formule d'inversion :

Théorème 12.2.6   Si f∈$\mathbbm$L¹ et $\hat{{f}}$∈$\mathbbm$L¹, alors

f (x) = (2π)^-n$$\int_{{\mathbbm{R}^{n}}}^{}$$e^ix.y$$\hat{f}$$(y)dy

Remarque 12.2.7   si f∈$\mathbbm$L¹ et $\hat{{f}}$∈$\mathbbm$L¹ ,

$$\Hat{\Hat f}(x) = (2\pi)^n\check f(x)= (2\pi)^n f(-x).$$

Corollaire 12.2.8   Formule de Parseval - Si θ∈$\mathscr$S, ψ∈$\mathbbm$L¹,

$$\int$$ψ$$\hat{\theta}$$ = (2π)^-n$$\int$$$$\hat{\psi}$$$$\overline{{\hat\theta}}$$

Corollaire 12.2.9   Formule de Plancherel - si ψ∈$\mathscr$S, alors

$$\int$$| ψ|² = (2π)^-n$$\int$$| ψ|²

Théorème 12.2.10   Si f∈$\mathbbm$L¹ et $\hat{f}$ = 0, alors f = 0.

Autrement dit La transformation de Fourier est une application injective dans $\mathbbm$L¹.

Remarque 12.2.11   Soit i l'injection de  $\mathscr$S dans  $\mathbbm$L²; d'après la formule de Plancherel, si f∈$\mathscr$S, | io$\mathscr$Ff|₂ = (2π)^{${\frac{{n}}{2}}$}| f|₂ (norme de $\mathbbm$L²), io$\mathscr$F peut donc s'interpréter comme une application linéaire continue de $\mathscr$S muni de la topologie de $\mathbbm$L² dans $\mathbbm$L². Alors, d'après un théorème de Banach, comme $\mathscr$S est dense dans $\mathbbm$L², io$\mathscr$F admet donc un prolongement continu linéaire unique à $\mathbbm$L², noté provisoirement $\widetilde{{\mathscr F}}$ : $\mathbbm$L²→$\mathbbm$L², dit transformation de Fourier dans $\mathbbm$L². On a donc pour toute suite (f_ν) dans $\mathscr$S convergente vers f dans $\mathbbm$L²

$$\widetilde{{\mathscr F}}$$f (y) = $$\lim_{{\nu\rightarrow+\infty}}^{}$$$$\int$$e^-ix.yf_ν(x)dx    

[on pourra par exemple prendre les (f_ν) dans $\mathscr$D($\mathbb {R}$ⁿ), ou même la suite régularisée par convolution].

Remarque 12.2.12   Pour f∈$\mathbbm$L², on n'a pas $\widetilde{{\mathscr F}}$f (y) = $\int$e^-ix.yf (x)dx, en général.

Proposition 12.2.13   $\widetilde{{\mathscr F}}$ est bijective de $\mathbbm$L² sur $\mathbbm$L².

Par suite, on note abusivement, pour toute fonctions de $\mathbbm$L²,

$$\widetilde{{\mathscr F}}$$ = $$\hat{f}$$.

Théorème 12.2.14   La transformation de Fourier est un automorphisme topologique de  $\mathscr$S.