Rapports avec la convolution

Proposition 12.3.1   Si f∈$\mathbbm$L¹ et g∈$\mathbbm$L², $\widehat{{f\ast g}}$ = $\hat{f}$$\hat{g}$

Corollaire 12.3.2       

1. f et g∈$\mathscr$S, f * g∈$\mathscr$S :
   $$\begin{aligned} f,g \in\mathscr S &\Rightarrow\hat f,\hat g\in\... ...w\mathscr F^{-1}(\hat f\hat g)=f\ast g\in\mathscr S \end{aligned}$$
   $\mathscr$S est une algèbre pour la convolution.
2. f, g∈$\mathscr$S, $\widehat{{fg}}$ = (2π)^-n$\hat{f}$ * $\hat{g}$
   il suffit de montrer l'égalité de leurs transformées de Fourier, or
   $$\begin{aligned} \widehat{\widehat{fg}} &=(2\pi)^n\overset{\curl... ...{\Hat g}\\ &=(2\pi)^{-n}\widehat{\hat f\ast\hat g}.\end{aligned}$$
   la transformation de Fourier dans $\mathscr$S échange multiplication et convolution.