Espace des fonctions infiniment dérivables à support compact

Définition 13.2.1   Le support d'une fonction continue f est la fermeture (ou l'adhérence) de l'ensemble des x tels que f (x)≠ 0. On note :

supp f = $$\overline{{\{x \; / \; f(x)\neq 0 \}}}$$

Proposition 13.2.2   Dans $\mathbbm$Rⁿ les ensembles compacts sont les ensembles fermés bornés.

Définition 13.2.3   L'ensemble des fonctions infiniment dérivables à support compact dans Ω⊂$\mathbbm$Rⁿ est noté $\mathscr$D(Ω).

Exemples.

$$\varphi$$ = $$\left\{\vphantom{ \begin{array}[c]{ll} e^{\frac{-1}{1 - \left\ve... ...rt{x}\right\vert< 1\\ 0 & \left\vert{x}\right\vert\geq 1 \end{array} }\right.$$$$\begin{array}[c]{ll} e^{\frac{-1}{1 - \left\vert{x}\right\vert^2}} &\left\vert{x}\right\vert< 1\\ 0 & \left\vert{x}\right\vert\geq 1 \end{array}$$

On munit $\mathscr$D d'une pseudo-topologie :

Définition 13.2.4   On dit qu'une suite $\varphi_{{n}}^{}$∈$\mathscr$D converge vers 0 si et seulement si ∃K un compact tel que supp $\varphi_{{n}}^{}$∈K  ∀n et :

$$\sup_{{K}}^{}$$$$\left\vert\vphantom{{\varphi_{n}}}\right.$$$$\varphi_{{n}}^{}$$$$\left.\vphantom{{\varphi_{n}}}\right\vert$$	→	0
$$\sup_{{K}}^{}$$$$\left\vert\vphantom{{\partial ^{\alpha}\varphi_{n}}}\right.$$∂α$$\varphi_{{n}}^{}$$$$\left.\vphantom{{\partial ^{\alpha}\varphi_{n}}}\right\vert$$	→	0.

On voit que les conditions de convergence sont ``sévères'' : on dit que c'est une topologie fine (exigeante).