Théorie des distributions

Définition 13.3.1   On note $\mathscr$D^′(Ω) le dual topologique de $\mathscr$D(Ω). On l'appelle l'espace des distributions sur Ω.

$$\begin{aligned} \mathscr{D}^{\prime}(\Omega) &= \left\{ \mbox... ...w \; T(\varphi_{n}) \rightarrow T(\varphi) \right\} \end{aligned}$$

On note indifféremment

T($$\varphi$$) = 〈T,$$\varphi$$〉.

Exemples de distributions

On définit l'ensemble $\mathscr$L¹_loc des fonctions mesurables localement intégrable :

$$\mathscr$$L¹_loc = $$\left\{\vphantom{ f \; / \; \int_{K} f < +\infty, \; \forall K \; compact}\right.$$f  /  $$\int_{{K}}^{}$$f < + ∞,  ∀K  compact$$\left.\vphantom{ f \; / \; \int_{K} f < +\infty, \; \forall K \; compact}\right\}$$.

Proposition 13.3.2   $\mathscr$L¹_loc contient $\mathscr$L¹, $\mathscr$L², $\mathscr$C^m, ....

Proposition 13.3.3   A toute fonction f de $\mathscr$L¹_loc est associée une distribution qu'on notera dans un premier temps [f] :

〈[f],$$\varphi$$〉 = $$\int$$$$\mathbbm$$Rⁿf (x)$$\varphi$$(x)dx    ∀$$\varphi$$∈$$\mathscr$$D.

On dit que [f] est une distribution régulière.

Les distributions apparaissent ainsi comme une généralisation des fonctions.

Proposition 13.3.4   On note δ la distribution de Dirac, définie par

〈δ₀,$$\varphi$$〉 = $$\varphi$$(0)    ∀$$\varphi$$∈$$\mathscr$$D.

〈δ_a,$$\varphi$$〉 = $$\varphi$$(a)    ∀$$\varphi$$∈$$\mathscr$$D.

Dérivation des distributions

Définition 13.3.5   Soit T une distribution dans Ω⊂$\mathbbm$Rⁿ, sa dérivée partielle par rapport à la variable x_i est, par définition, la distribution

〈$${\frac{{\partial{T}}}{{\partial{x_{i}}}}}$$,$$\varphi$$〉 = - 〈T,$${\frac{{\partial{\varphi}}}{{\partial{x_{i}}}}}$$〉    ∀$$\varphi$$∈$$\mathscr$$D.

De même, on a pour tout multi-indice α :

〈D^αT,$$\varphi$$〉 = (- 1)^{$\left\vert\vphantom{{\alpha}}\right.$α$\left.\vphantom{{\alpha}}\right\vert$}〈T, D^α$$\varphi$$〉    ∀$$\varphi$$∈$$\mathscr$$D

Ainsi, toute distribution est infiniment dérivable. Par ailleurs, cette définition est une extension de la notion classique de dérivée :

Proposition 13.3.6   Soit f∈$\mathscr$L¹_loc et supposons que sa dérivée D^αf existe et soit localement intégrable, alors [D^αf] (distribution associée à la dérivée) coïncide avec D^α[f] (dérivée de la distribution associée).

Proposition 13.3.7   Soit H(x) la fonction de Heaviside, alors [H(x)]^′ = δ₀. Autrement dit, la dérivée de la fonction de Heaviside est la distribution de Dirac en 0.

Opération sur les distributions

Définition 13.3.8   - Multiplication par une fonction $\mathscr$C^∞ - Soit T∈$\mathscr$D^′(Ω) et soit f∈$\mathscr$C^∞(Ω), alors fT∈$\mathscr$D^′(Ω) :

〈fT,$$\varphi$$〉 = 〈T, f$$\varphi$$〉    ∀$$\varphi$$∈$$\mathscr$$D.

Remarque 13.3.9   Si T∈$\mathscr$D^′(Ω) et U∈$\mathscr$D^′(Ω), le produit n'est pas défini a priori.

Définition 13.3.10   - Translatée d'une distribution - Soit T∈$\mathscr$D^′($\mathbbm$Rⁿ) et a∈$\mathbbm$Rⁿ, la translatée de T par a est la distribution

〈τ_a,$$\varphi$$〉 = 〈T_x,$$\varphi$$(x-a)〉    ∀$$\varphi$$∈$$\mathscr$$D.

Convergence au sens des distributions

Définition 13.3.11   On dit qu'une suite de distribution T_n converge vers T au sens des distributions, si et seulement si

$$\lim_{{n\rightarrow \infty}}^{}$$〈T_n,$$\varphi$$〉 = 〈T,$$\varphi$$〉    ∀$$\varphi$$∈$$\mathscr$$D.

Support d'une distribution

Définition 13.3.12   On note supp T le support de la distribution T∈$\mathscr$D^′(Ω) défini par

Exemples. supp δ₀ = {0}.

Proposition 13.3.13   Si une distribution est définie par une fonction f, on a

supp [f]⊂supp f.

Proposition 13.3.14   Si supp T = {0} alors T est une combinaison linéaire de distributions de Dirac en 0 et de ses dérivées.

T = $$\sum_{{\alpha}}^{}$$C_αδ₀.