Produit de convolution de deux distributions

Définition 13.5.1   Soit T∈$\mathscr$D^′ une distribution et $\varphi$∈$\mathscr$D, le produit de convolution est la fonction défini par

T*$$\varphi$$(x) = 〈T_y,$$\varphi$$x-y〉.

Exemples.

1. δ₀*$\varphi$(x) = $\varphi$(x).
2. si f∈$\mathscr$L¹_loc, alors [f]*$\varphi$(x) = f*$\varphi$(x).

Proposition 13.5.2   Si T∈$\mathscr$D^′ et si $\varphi$∈$\mathscr$D alors T*$\varphi$(x) est une fonction $\mathscr$C^∞. De plus, on a

∂^α$$\left(\vphantom{ T * \varphi}\right.$$T*$$\varphi$$$$\left.\vphantom{ T * \varphi}\right)$$(x) = ∂^αT*$$\varphi$$(x) = T*∂^α$$\varphi$$(x).

Proposition 13.5.3   Si T∈$\mathscr$E^′ et si $\varphi$∈$\mathscr$D, T*$\varphi$(x) est une fonction à support compact.

Théorème 13.5.4   $\mathscr$C^∞ est séquentiellement dense dans $\mathscr$D^′.

Preuve : par le produit de convolution avec la suite régularisante.

Théorème 13.5.5   Si T∈$\mathscr$D^′ et T^′ = 0, alors T est une constante.