Petite introduction à l'analyse fonctionnelle

Même prudent, le titre est trompeur, il ne s'agit pas véritablement d'analyse fonctionnelle mais, pour le moment, une collection de résultats théoriques concernant des espaces de fonctions usuels en mathématiques appliquées et en mécanique en particulier. Les résultats qui suivent sont difficiles et peuvent être survolés sans conséquences en Licence de Mécanique, mais pourront être acquises au cours de la maîtrise.

Il est essentiel, avant de vouloir résoudre un problème, de savoir s'il est bien posé ou non : savoir il existe une solution au problème posé et si oui, savoir si il existe une ou plusieurs solutions. Dans un cadre mécanique cela revient à savoir si la modélisation a un sens ou non. En effet, il est vain de vouloir trouver une solution si elle n'existe pas et si il existe plusieurs solutions, laquelle choisir ?

En bref, comment savoir si les équations, les conditions aux limites d'un problème sont bien écrites, s'il n'en manque pas, s'il ne sont pas contradictoires.

A ces questions, seule l'analyse mathématique permet de répondre, en classant notamment les problèmes, en les identifiant et en les regroupant par les propriétés des solutions et de leur dépendance aux données.

L'intérêt de ce cadre mathématique est une maîtrise relative d'un cadre théorique de la modélisation en mécanique: maîtrise des théorèmes d'existence, d'unicité et de la dépendances des solutions aux données du problème, maîtrise également de l'approximation.

Naturellement, un résultat d'existence ne donne pas a priori d'indication sur la manière de rechercher la solution d'un problème. C'est là une des grandes difficultés de ce cadre théorique : des énoncés difficiles, abstraits, pour une pratique concrète quasi nulle au métier d'ingénieur.

Enfin, c'était sans compter les ingénieurs qui ont mis au point la méthode des éléments-finis, basés sur ce cadre théorique, permettant d'approximer les solutions d'un grand nombre de problème mécanique.