Fonctions continues de plusieurs variables

Revenons tout d'abord au cas où les fonctions sont définies sur $\mathbbm$Rⁿ (ou sur des ouverts de $\mathbbm$Rⁿ) dans le cas familier où n = 1 afin d'y jeter un nouveau regard.

Si f est une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle ouvert ]a, b[ de $\mathbbm$R et si x₀∈]a, b[ alors

Définition 4.2.1   On dit que f est continue en x₀ si

$$\lim_{{x\rightarrow x_{0}}}^{}$$f (x) = f (x₀).

Remarquons ici que la notion x tends vers x₀ naturelle dans $\mathbbm$R ne l'est plus si x désigne des objets abstraits, d'où la nécessité d'une topologie.

On va voir qu'il est possible de reformuler cette définition de façon ``légèrement'' plus abstraite afin de la généraliser: On peut dire que f est continue en x₀ si ∀$\varepsilon$ > 0,∃η > 0 tel que

$$\left\vert\vphantom{{x_{0}-x}}\right.$$x₀-x$$\left.\vphantom{{x_{0}-x}}\right\vert$$≤η⇒$$\left\vert\vphantom{{ f( x_{0}) -f(x)}}\right.$$f (x₀)-f (x)$$\left.\vphantom{{ f( x_{0}) -f(x)}}\right\vert$$≤$$\varepsilon$$

autrement dit f est continue en x₀ si

f (x) = f (x₀) + O($$\left\vert\vphantom{{x- x_{0}}}\right.$$x-x₀$$\left.\vphantom{{x- x_{0}}}\right\vert$$).

Pour plus d'informations sur la notion d'ensemble ouvert, on peut consulter les manuels de topologie élémentaire; il est conseillé de se limiter à la topologie métrique dans un premier temps. Il faut savoir que même si la topologie est une science trop abstraite pour ce cours, elle est une base fondatrice du calcul différentiel et donc de toutes les mathématiques appliquées faisant intervenir des équations aux dérivées partielles, et en premier lieu la mécanique. En fait, on utilise la topologie sans le savoir, un peu comme M. Jourdain.