Dérivation le long d'une courbe - Dérivation partielle dans une direction

Soit $\cal {C}$ une courbe de $\mathbbm$Rⁿ, c'est à dire l'image dans $\mathbbm$Rⁿ d'une application $\bf{c}{$ définie sur un intervalle ]a, b[⊂$\mathbbm$R. Pour fixer les idées on peut prendre n = 2 ou encore n = 3 (courbe dans le plan, l'espace...).

Soit $\cal {O}$ un ouvert de $\mathbbm$Rⁿ contenant la courbe $\cal {C}$ et soit $\bf{f}{$ comme précédemment, une application de $\mathbbm$Rⁿ vers $\mathbbm$R^m.

Définissons l'application composée g de ]a, b[ vers $\mathbbm$R^m:

$$\bf{g}{(t)= \vec{c}\circ\vec{f}(t)= \vec{f}( \vec{c}(t))$$

D'après le théorème de composition, on a

    $$\bf{g}{^{\prime}(t)= \nabla{\vec{f}( \vec{c}(t))}\; \vec{c}^{\prime}(t),$$

où $\bf{c}{^{\prime}(t)= c_{1}^{\prime}(t)\vec{u}_{1}+\dots+ c_{m}^{\prime}(t)\vec{u}_{m}$.

$\bf{g}{^{\prime}(t)$ représente la dérivée de $\bf{f}{$ le long de la courbe $\cal {C}$. Cela nous permet également de définir la dérivée dans une direction $\bf{y}{$:

En prenant $\bf{c}{= \vec{x}+t\vec{y}$, on a $\bf{c}{^{\prime}(t)=\vec{y}$. D'où, d'après la proposition précédente :

$$\bf{g}{^{\prime}(0)= \nabla{\vec{f}( \vec{x})}\;\vec{y}.$$

ou encore

∇$$\bf{f}{(\vec{x})$$  $$\bf{y}{ = \lim_{t\rightarrow 0}\left[ \frac {\vec{f}(\vec{x}+t\vec{y}) -\vec{f}(\vec{x})}{t}\right] .$$

Cette dernière limite étant la dérivée partielle de $\bf{f}{$ suivant le vecteur unitaire $\bf{y}{$ au point $\bf{x}{$.