Gradient, divergence, rotationnel

Gradient

La matrice Jacobienne étant relative aux bases canoniques, il est important, afin de faire du calcul dans des bases autres que les canoniques (telles que les coordonnées cylindriques...), de se rappeler l'objet intrinsèque dont elle est le représentant. Il s'agit du gradient de $\bf{f}{$, qui n'est autre que l'application dérivée :

$$\bf{f}{^{\prime}(\vec{x})\vec{a} = \nabla{\vec{f}(x)}\;\vec{a},$$

mais qui est aussi parfois défini par

d$$\bf{f}{= \nabla{\vec{f}}\; d\vec{x}.$$

ou encore si les $\bf{e}{_{j}$ désignent une base fixe et si les $\bf{x}{$ se décomposent dans cette base :

$${\frac{{\partial{\vec{f}}}}{{\partial{x_{j}}}}}$$($$\bf{x}{) =\nabla{\vec{f}(\vec{x})}\;(\vec{e}_{j}).$$

Ainsi la représentation matricielle du gradient de $\bf{f}{$ dans les bases canoniques est la matrice Jacobienne.

Divergence

Dans le cas particulier où n = m, la matrice Jacobienne est une matrice carré. On peut alors définir de nouveaux opérateurs voir le paragraphe 4.4 sur la divergence dans le chapitre sur le théorème de Stokes :

Proposition 4.4.1   L'opérateur divergence est la trace du gradient :

div $\bf{f}{{= \mbox{\texttt{tr}}({\nabla{\vec{f}}\;}).$

Rotationnel

Toujours dans le cas où n = m,

Proposition 4.4.2   Le rotationnel de $\bf{f}{$, noté $\overrightarrow{\texttt{rot}}{\vec{f}}$, est le vecteur associé à la partie antisymétrique du gradient de $\bf{f}{$. Dans $\mathbbm$R³, on a :

[

Quelques remarques et propriétés des opérateurs différentiels

Remarque 4.4.3   Dans la littérature mathématique, le gradient d'une fonction scalaire à plusieurs variables est souvent représentée par un vecteur, ainsi si f (x) = f (x₁,..., x_n)∈$\mathbbm$R, le gradient est défini par

si bien qu'il est noté

∇f (x)   = $$\begin{pmatrix} \frac{\partial{f}}{\partial{x_1}}\\ \vdots \\ \frac{\partial{f}}{\partial{x_n}} \end{pmatrix}$$

Cependant, cette notation n'a plus de sens lorsque la fonction f est vectorielle.

Remarque 4.4.4   L'opérateur divergence est parfois noté (sur wikipédia, dans de nombreux livres, surtout en physique) comme un produit scalaire par un pseudo vecteur ∇, mais c'est un abus d'écriture : cette notation n'est pas une définition et ne peut pas s'étendre à d'autres objets que des fonctions vectorielles, notamment la divergence d'un tenseur si importante en Mécanique.

Terminons ce paragraphe par quelques propriétés sur la divergence et le rotationnel :

Proposition 4.4.5   Pour tout champ de vecteur défini sur Ω⊂$\mathbbm$R³ à valeur dans $\mathbbm$R³ :

= 0 (4.1)

( = (4.2)

= ∇div (4.3)

Théorème 4.4.6   Si un champ de vecteur $\bf{u}{$, défini de Ω⊂$\mathbbm$Rⁿ à valeur dans $\mathbbm$Rⁿ, est tel que alors il existe une fonction scalaire f définie sur Ω telle que

On dit que $\bf{u}{$ dérive d'un potentiel.

De façon analogue, on a

Théorème 4.4.7   Si un champ de vecteur $\bf{u}{$, défini de Ω⊂$\mathbbm$Rⁿ à valeur dans $\mathbbm$Rⁿ, est tel que div alors il existe un champs $\bf{v}{$ tel que