Dérivée seconde

Soit $\bf{f}{$ une application d'un ouvert $\cal {O}$⊂E vers F où comme précédemment E et F désignent respectivement $\mathbbm$Rⁿ et $\mathbbm$R^m (ou encore tout espaces de Banach).

On a vu que la différentielle (ou application dérivée) de $\bf{f}{$ en un point $\bf{x}{$ de $\cal {O}$ est une application linéaire de E vers F :

$$\bf{f}{^{\prime} (\vec{x})\in {\cal L}(E,F)\quad \vec{f}^{\prime}:{\cal O}\subset E\longmapsto {\cal L}(E,F) .$$

Ainsi, en réapplicant la définition de différentielle à $\bf{f}{^{\prime}$, on a :

$$\bf{f}{^{\prime\prime} (\vec{x})\in {\cal L}(E,{\cal L}(E,F)) \simeq {\cal L}(E\times E,F).$$

$\bf{f}{^{\prime\prime} (\vec{x})$ apparaît donc comme une application bilinéaire.

Puisque E = $\mathbbm$Rⁿ, $\bf{f}{^{\prime}$ se décompose en dérivées partielles :

$$\bf{f}{^{\prime} (\vec{x}).(\vec{h}) =\vec{f}^{\prime} (\vec{x}).(h_{1},\dots,h_{n})= \sum_{j=1}^{n}\frac{\partial{\vec{f}}}{\partial{x_{j}}}.h_{j}$$

Il en est de même pour l'application dérivée seconde :

$$\bf{f}{^{\prime\prime} (\vec{x}).(\vec{h}))= \sum_{j=1}^{n}\frac{\partial{\vec{f}^{\prime}}}{\partial{x_{j}}}.h_{j}$$

Ainsi,

$$\bf{f}{^{\prime\prime} (\vec{x}).(\vec{h}).(\vec{k}) = \sum_{j=1}^{n}\frac{\partial{\vec{f}^{\prime}(\vec{x})}}{\partial{x_{j}}}.h_{j} .(\vec{k})$$

et finalement

$$\bf{f}{^{\prime\prime} (\vec{x}).(\vec{h}).(\vec{k}) = \sum_{i,j=... ...tial^{2}{\vec{f}(\vec{x})}}{\partial{x_{i}}\partial{x_{j}}} .h_{j}.k_{i} \in F.$$

Théorème 4.7.1   Si $\bf{f}{$ une application d'un ouvert $\cal {O}$⊂E vers F est une application deux fois différentiable en $\bf{x}{$ alors la dérivée seconde est une application bilinéaire symétrique:

∀$$\bf{h}{,\vec{k} \in E \quad \vec{f}^{\prime\prime} (\vec{x}).(\vec{h}).(\vec{k}) = \vec{f}^{\prime\prime} (\vec{x}).(\vec{k}).(\vec{h}).$$

C'est un résultat non-trivial (excellent exercice en calcul différentiel) mais qui donne immédiatement le

Corollaire 4.7.2   Théorème de Schwarz - Si $\bf{f}{$ une application d'un ouvert $\cal {O}$⊂E vers F est une application deux fois différentiable en $\bf{x}{$ alors

$${\frac{{\partial^{2}{ \vec{f}(\vec{x})}}}{{\partial{x_{i}}\partial{x_{j}}}}}$$ = $${\frac{{\partial^{2}{ \vec{f}(\vec{x})}}}{{\partial{x_{j}}\partial{x_{i}}}}}$$.

Ces résultats s'étendent à toutes les dérivées successives.