Principaux théorèmes sur les fonctions de plusieurs variables

Dans cette section, on énonce divers résultats théoriques fondamentaux en calcul différentiel. Cependant ces résultats ne sont pas nécessaire au niveau de la Licence de Mécanique.

Définition 4.8.1   On dit qu'un application différentiable $\bf{f}{$ d'un ouvert $\cal {O}$ un ouvert de $\mathbbm$Rⁿ vers $\mathbbm$R^m est continûment différentiable sur $\cal {O}$ si $\bf{f}{^{\prime}$ est une application continue de $\cal {O}$ vers $\cal {L}$($\mathbbm$Rⁿ,$\mathbbm$R^m). On dit alors que $\bf{f}{$ est de classe $\cal {C}$¹, ce qu'on écrit $\bf{f}{ \in {\cal C}^{1}({\cal O})$.

Théorème 4.8.2   Soit $\bf{f}{$ une application d'un ouvert $\cal {O}$ de $\mathbbm$Rⁿ vers $\mathbbm$R^m. Alors $\bf{f}{ \in {\cal C}^{1}({\cal O})$ si et seulement si toutes les dérivées partielles existent et sont continues sur $\cal {O}$ .

Théorème 4.8.3   Théorème de la Moyenne - Soit f une fonction continue et dérivable sur un intervalle [a, b]. Si la fonction dérivée f^′ est continue, alors il existe c∈[a, b] telle que f (b) - f (a) = (b - a)f^′(c).

Lemme 4.8.4   Théorème du point fixe - Soit $\varphi$ une application de E dans F, deux espaces de Banach. Si $\varphi$ est contractante, alors $\varphi$ possède un unique point fixe.

Cette partie est à compléter