Formule de Taylor

Théorème 4.9.1   Soit f une fonction k-fois différentiable en x₀∈Ω⊂$\mathbbm$Rⁿ à valeur dans $\mathbbm$R^m, alors pour tout h∈$\mathbbm$Rⁿ :

f (x₀ + h) = f (x₀) + f^′(x₀)h + $${\frac{{1}}{{2}}}$$f^′′(x₀)h.h + ... + $${\frac{{1}}{{k!}}}$$f^(k)(x₀)(h)^k + o(h^k)

où f^(k)(x₀)(h)^k signifie f^(k)(x₀)$\underbrace{{h\dots h}}_{{k\; fois}}^{}$.

Preuve. Il suffit d'appliquer la formule de Taylor à la fonction g(t) = f (x₀ + th) en t=0, et montrer que

g^(k)(0) = f^(k)(x₀)(h)^k.

$\qedsymbol$