Extrema d'une fonction réelle

Théorème 4.10.1   Soit f une fonction deux fois différentiable dans Ω⊂$\mathbbm$Rⁿ à valeur dans $\mathbbm$R, f possède un minimum local en x₀, i.e. il existe r > 0 tel que

f (x₀)≤f (x)    ∀x∈B(x₀, r)⊂Ω,

si et seulement si :

1. f^′(x₀) = 0,
2. f^′′(x₀)≥0.

Rappelons que f^′′ est une forme bilinéaire symétrique sur $\mathbbm$Rⁿ. Autrement dit, f^′′(x₀)≥ 0 signifie

f^′′(x₀)(h, h)≥0    ∀h∈$$\mathbbm$$Rⁿ

Nous terminons par un critère de positivité d'une forme bilinéaire :

Proposition 4.10.2   Soit A la représentation matricielle d'une forme bilinéaire symétrique sur $\mathbbm$Rⁿ, alors A≥ 0 si et seulement si toutes les valeurs propres de A sont positives ou nulles.