Coordonnées cylindriques et sphériques

Nous terminons ce chapitre sur le calcul différentiel par des expressions particulièrement utiles en Mathématiques appliquées, les expressions des différents opérateurs différentiels en coordonnées cylindriques et en coordonnées sphériques.

Expressions en coordonnées Cylindriques

Plaçons dans E = $\mathbbm$R³ et désignons par ($\bf{x}{_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3})$ vecteur de la base canonique de $\mathbbm$R³ et désignons par O le point (0,0,0). Tout point M de E peut être défini par son vecteur position $\bf{OM}{$, dont on donne les coordonnées dans la base canonique :

$$\bf{OM}{ = x_{1} \vec{x}_{1}+ x_{2}\vec{x}_{2}+x_{3}\vec{x}_{3},$$

notation que l'on préfère à :

$$\bf{OM}{ = x\vec{x}_{1}+ y \vec{x}_{2}+z \vec{x}_{3}.$$

On définit les coordonnées cylindriques par

r = $$\sqrt{{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}}$$,    θ = arctan$${\frac{{x_{2}}}{{x_{1}}}}$$,    x₃ = x₃.

Alors le vecteur position se ré écrit :

$$\bf{OM}{ = r \vec{e}_{r}+ x_{3} \vec{x}_{3},$$

où

$$\bf{e}{_{r} = \cos{\theta} \vec{x}_{1}+ \sin{\theta} \vec{x}_{2}.$$

En associant de plus le vecteur

$$\bf{e}{_{\theta}= \vec{x}_{3} \wedge \vec{e}_{r},$$

on aura défini une base ($\bf{e}{_{r}, \vec{e}_{\theta}, \vec{x}_{3})$ orthonormée de E, appelé base base cylindrique. Les coordonnées (r, θ, x₃) sont les coordonnées cylindriques de M.

Cas d'une fonction à valeur réelle

Considérons maintenant une fonction f définie sur une partie de $\mathbbm$R³, adoptons la notation abusive :

f (x₁, x₂, x₃) = f (r, θ, x₃).

Nous notons également le produit scalaire de deux vecteurs (colonnes) indifféremment des trois manières suivantes :

$$\begin{aligned} &\vec{u} \cdot \vec{v}\\ &[\vec{u}]^\bot [\vec{v}] \\ &(\vec{u},\vec{v}) \end{aligned}$$

Rappelons nous que nous avions identifié

$${\frac{{\partial{f}}}{{\partial{x_{1}}}}}$$(x₁, x₂, x₃) = $$\lim_{{h\rightarrow 0}}^{}$$$${\frac{{f(x_{1}+h,x_{2},x_{3})-(x_{1}+h,x_{2},x_{3})}}{{h}}}$$ = ∇f  ⋅$$\bf{x}{_{1},$$

puisque la variation de (x₁ + h, x₂, x₃) à (x₁ + h, x₂, x₃) est h$\bf{x}{_{1}$.

Le problème avec les coordonnées cylindriques est que si la variation de (r + δr, θ, x₃) à (r, θ, x₃) est bien de δr$\bf{e}{_{r}$, ce qui entraîne

$${\frac{{\partial{f}}}{{\partial{r}}}}$$(r, θ, x₃) = $$\lim_{{h\rightarrow 0}}^{}$$$${\frac{{f(r+h,\theta,x_{3})-f(r,\theta,x_{3})}}{{h}}}$$ = ∇f  ⋅$$\bf{e}{_{r},$$

en revanche la variation de (r, θ + δθ, x₃) à (r, θ, x₃) n'est malheureusement pas δθ$\bf{e}{_{\theta}$, ce qui signifie que

$${\frac{{\partial{f}}}{{\partial{\theta}}}}$$(r, θ, x₃) = $$\lim_{{h\rightarrow 0}}^{}$$$${\frac{{f(r,\theta+h,x_{3})-f(r,\theta,x_{3})}}{{h}}}$$≠∇f  ⋅$$\bf{e}{_{\theta}.$$

Plus précisément, si M est un point de coordonnées cylindrique (r, θ, x₃), et M^′ un point de coordonnées (r, θ + δθ, x₃) alors la variation $\bf{MM^{\prime}}{$ est en fait:

$$\bf{MM^{\prime}}{ = r \delta\theta \vec{e}_{\theta}.$$

D'où nous avons :

$${\frac{{\partial{f}}}{{\partial{\theta}}}}$$(r, θ, x₃) = ∇f  ⋅r$$\bf{e}{_{\theta},$$

autrement dit les composantes cylindriques de ∇f   sont :

∇f   = $${\frac{{\partial{f}}}{{\partial{r}}}}$$$$\bf{e}{_{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial{f}}{\partial{\theta}} \vec{e}_{\theta} + \frac{\partial{f}}{\partial{x_{3}}}\vec{x}_{3}.$$

ou encore

$$\left[\vphantom{\nabla{f}\;}\right.$$∇f  $$\left.\vphantom{\nabla{f}\;}\right]_{{cylindrique}}^{}$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{aligned} \frac{\partial{f}}{\partial{r}}\... ...\partial{\theta}}\\ \frac{\partial{f}}{\partial{x_{3}}} \end{aligned} }\right.$$$$\begin{aligned} \frac{\partial{f}}{\partial{r}}\\ \frac{1}{r} ... ...ial{\theta}}\\ \frac{\partial{f}}{\partial{x_{3}}} \end{aligned}$$$$\left.\vphantom{ \begin{aligned} \frac{\partial{f}}{\partial{r}}\... ...\partial{\theta}}\\ \frac{\partial{f}}{\partial{x_{3}}} \end{aligned} }\right)$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}[c]{c} f_{,r} \frac{1}{r} f_{,\theta} f_{,3} \end{array} }\right.$$$$\begin{array}[c]{c} f_{,r} \frac{1}{r} f_{,\theta} f_{,3} \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}[c]{c} f_{,r} \frac{1}{r} f_{,\theta} f_{,3} \end{array} }\right)$$.

Cas d'une fonction vectorielle

Considérons maintenant une fonction $\bf{f}{$ définie sur une partie de $\mathbbm$R³, et à valeur dans $\mathbbm$R³ adoptons également la notation abusive :

$$\bf{f}{(x_{1},x_{2},x_{3})= \vec{f}(r,\theta,x_{3}).$$

On décomposera $\bf{f}{$ dans les coordonnées cylindriques par

$$\bf{f}{(r,\theta,x_{3}) =f_{r}\vec{e}_{r} + f_{\theta} \vec{e}_{\theta}+ f_{3} \vec{x}_{3} .$$

D'après leur définition, il est facile de voir que

$$\begin{aligned}& \frac{\partial{ \vec{e}_{r}}}{\partial{r}} = 0... ... \frac{\partial{ \vec{x}_{3}}}{\partial{\theta}}= 0.\end{aligned}$$

Ainsi,

$$\begin{aligned}& \frac{\partial{\vec{f}}}{\partial{r}} = \nabla... ..._{\theta,3} \vec{e}_{\theta} + f_{3,3} \vec{x}_{3}. \end{aligned}$$

On en déduit alors l'expression du gradient d'une fonction vectorielle en composantes cylindriques :

∇$$\bf{f}{$$   = $$\begin{pmatrix} &f_{r,r} & \frac{1}{r} (f_{r,\theta}- f_{\theta}... ...eta,3} \\ &f_{3,r} & \frac{1}{r} f_{3,\theta} & \quad f_{3,3} \end{pmatrix}$$.

La divergence étant la trace du gradient, on a :

div $$\bf{f}{{= f_{r,r} + \frac{1}{r} (f_{\theta,\theta}+ f_{r}) + f_{3,3}$$

D'où le Laplacien d'une fonction scalaire en coordonnées cylindriques

Δf = f_{, rr} + $${\frac{{1}}{{r}}}$$($${\frac{{1}}{{r}}}$$f_{, θθ} + f_{, r}) + f_{, 33}.

Le rotationnel étant le vecteur associé à la partie antisymétrique du gradient, on a

$$\overrightarrow{\texttt{rot}}{\vec{f}}= \left( \begin{aligned}& ... ... & f_{\theta,r}- \frac{1}{r} (f_{r,\theta}- f_{\theta})\end{aligned} \right).$$

Expressions en coordonnées sphériques

C'est la même chose qu'en cylindrique, sauf qu'il y a encore plus de calcul à faire :-((

Si f est une fonction scalaire :

∇f   = (f_r,$${\frac{{1}}{{r}}}$$f_θ,f_φ)

si f est une fonction vectorielle :

∇$$\bf{f}{$$   = .

A compléter ... par le lecteur ;-p