Formule de la divergence : définition

Le théorème de Stokes permet de définir la notion de divergence :

Définition 6.4.1   Formule de la divergence - Soit $\bf{u}{$ un champs de vecteur défini sur Ω⊂$\mathbbm$Rⁿ à valeur dans $\mathbbm$Rⁿ et soit $\bf{n}{$ le vecteur normal unitaire extérieur à ∂Ω. On définit l'opérateur divergence par l'unique opérateur différentiel tel que

$$\int_{{\Omega}}^{} \bf{u}{{ = \int_{\partial\Omega}\vec{u}.\vec{n} .$$ (6.2)

Cas où Ω est un domaine de $\mathbbm$R

Dans ce cas trivial, la divergence est confondue avec la dérivée usuelle d'une fonction.

Cas où Ω est un domaine de $\mathbbm$R²

Soit ω une 1-forme différentielle définie sur $\mathbbm$R² par deux fonctions scalaire u₁ et u₂ définies sur Ω⊂$\mathbbm$R² :

ω = u₂dx₁ - u₁dx₂.

Alors, d'après les règles de calculs, on a

dω = ($${\frac{{\partial{u_{1}}}}{{\partial{x_{1}}}}}$$ + $${\frac{{\partial{u_{2}}}}{{\partial{x_{2}}}}}$$)dx₁∧dx₂.

D'où on déduit d'après le théorème de Stokes :

$$\int_{{\Omega}}^{}$$dω = $$\int_{{\partial\Omega}}^{}$$u₂dx₁ - u₁dx₂ = $$\int_{{[a,b]}}^{}$$$$\left(\vphantom{ u_{2}t_{1} - u_{1}t_{2} }\right.$$u₂t₁ - u₁t₂$$\left.\vphantom{ u_{2}t_{1} - u_{1}t_{2} }\right)$$ds

où le vecteur $\bf{t}{=(t_{1},t_{2})$ est le vecteur tangent unitaire à ∂Ω. Si bien qu'en posant

$$\bf{u}{= (u_{1},u_{2})$$

et en remarquant que la normale extérieure est donnée par

$$\bf{n}{=(-t_2, t_1),$$

on a

$$\begin{aligned} \int_{\Omega}(\frac{\partial{u_{1}}}{\partial{... ...2} \right)ds\\ &=\int_{[a,b]} \vec{u}.\vec{n} ds. \end{aligned}$$

D'où la définition

Théorème 6.4.2   Soit $\bf{u}{$ un champ de vecteur différentiable défini sur Ω⊂$\mathbbm$R² à valeurs dans $\mathbbm$R².

div $$\bf{u}{{ = \frac{\partial{u_{1}}}{\partial{x_{1}}} + \frac{\partial{u_{2}}}{\partial{x_{2}}}.$$

Cas où Ω est un domaine de $\mathbbm$R³

Théorème 6.4.3   Soit $\bf{u}{$ un champ de vecteur différentiable défini sur Ω⊂$\mathbbm$R³ à valeurs dans $\mathbbm$R³.

div $$\bf{u}{{ = \frac{\partial{u_{1}}}{\partial{x_{1}}}+\frac{\partial{u_{2}}}{\partial{x_{2}}}+ \frac{\partial{u_{3}}}{\partial{x_{3}}}.$$

Preuve. On procède de façon analogue au cas dans $\mathbbm$R² :
Soit ω une 2-forme différentielle définie sur $\mathbbm$R³ par les trois fonctions u₁, u₂ et u₃ :

ω = u₁dx₂∧dx₃ + u₂dx₃∧dx₁ + u₃dx₁∧dx₂.

Alors la différentielle vaut :

dω = $$\left(\vphantom{ \frac{\partial{u_{1}}}{\partial{x_{1}}}+\frac{\partial{u_{2}}}{\partial{x_{2}}}+ \frac{\partial{u_{3}}}{\partial{x_{3}}}}\right.$$$${\frac{{\partial{u_{1}}}}{{\partial{x_{1}}}}}$$ + $${\frac{{\partial{u_{2}}}}{{\partial{x_{2}}}}}$$ + $${\frac{{\partial{u_{3}}}}{{\partial{x_{3}}}}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{\partial{u_{1}}}{\partial{x_{1}}}+\frac{\partial{u_{2}}}{\partial{x_{2}}}+ \frac{\partial{u_{3}}}{\partial{x_{3}}}}\right)$$dx₁∧dx₂∧dx₃.

On a donc

$$\begin{aligned} \int_{\Omega}\left( \frac{\partial{u_{1}}}{\par... ...dx_{2}\wedge dx_{3} \\ &=\int_{\Omega}d\omega. \\ \end{aligned}$$

On écrit alors le théorème de Stokes

$$\begin{aligned} \int_{\Omega}d\omega. &= \int_{\partial\Omega}... ..._{2} \\ &=\int_{\partial\Omega} \vec{u}.\vec{n} ds \end{aligned}$$

d'où la définition de la divergence. $\qedsymbol$

On admettra de façon plus générale le

Théorème 6.4.4   Soit $\bf{u}{$ un champ de vecteur différentiable défini sur Ω⊂$\mathbbm$Rⁿ à valeurs dans $\mathbbm$Rⁿ.

$$\begin{aligned} \div{\vec{u}} &= \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial{u_{i}}}{\partial{x_{i}}} \\ &= tr(\nabla \vec{u}). \end{aligned}$$

On étends la notion d'opérateur divergence aux champs de tenseur d'ordre 2 :

Théorème 6.4.5   Soit $\mathbbm$M un tenseur d'ordre 2 défini sur Ω⊂$\mathbbm$R³, on définit également :

$$\int_{{\Omega}}^{}$$div $$\mathbbm$$M = $$\int_{{\partial\Omega}}^{}$$$$\mathbbm$$M$$\bf{n}{$$

de sorte que la divergence d'un tenseur d'ordre 2 est un champ de vecteur :

div $$\mathbbm$$M = $$\sum_{{j=1}}^{{n}}$$$$\begin{bmatrix} M_{1j,j}\\ M_{2j,j} \\ \vdots \\ M_{ij,j} \\ \vdots \\ M_{nj,j} \end{bmatrix}$$

Corollaire 6.4.6   Si $\mathbbm$M est tenseur d'ordre 2 symétrique, on a :

$$\int_{{\Omega}}^{}$$$$\bf{OM}{\wedge\div{\mathbbm{M}} = \int_{\partial\Omega}\vec{OM}\wedge\mathbbm{M}\vec{n}$$

Remarque 6.4.7   Le théorème 4.4.5 et son corollaire ont une grande importante en Mécanique des milieux continus. Ils permettent notamment de déduire le principe fondamental de la dynamique.

Formules de Stokes

Théorème 6.4.8   Soit $\bf{u}{$ un champ de vecteur défini sur Ω⊂$\mathbbm$R³ à valeur dans $\mathbbm$R³ :

$$\int_{{\partial\Omega}}^{}$$

Formules de Green

En appliquant la formule de de la divergence à div $\mathbbm$M$\bf{v}{{$ où $\mathbbm$M est un tenseur d'ordre 2 défini dur un domaine Ω de $\mathbbm$R³ et $\bf{v}{$ un champ de vecteur de $\bf{v}{$ également défini du Ω.

On a alors

$$\int_{{\Omega}}^{}$$div $$\mathbbm$$M$$\bf{v}{{ = \int_{\partial\Omega} \mathbbm{M}\vec{v} \vec{n} - \int_{\Omega} \mathbbm{M}: \nabla{\vec{v}}\;$$

et si de plus $\mathbbm$M est un tenseur symétrique, on a

$$\int_{{\Omega}}^{}$$div $$\mathbbm$$M$$\bf{v}{{ = \int_{\partial\Omega} \mathbbm{M}\vec{v} \vec{n} - \int_{\Omega} \mathbbm{M}:\epsilon(\vec{v})$$

où

ε($$\bf{v}{)= \frac{1}{2}\left( \nabla{\vec{v}}\; +\nabla{\vec{v}}\;^{T}\right).$$