Intégrales complexes

Formule intégrale de Cauchy

Soit Ω un ouvert du plan complexe et soit γ(t) une courbe dans Ω, pour t∈[a, b]. On décompose

γ(t) = x(t) + iy(t)

Soit ω = f (z)dz une forme différentielle, où f est une fonction de variable complexe définie sur ω à valeur dans $\mathbbm$C, par définition on a

Définition 9.5.1  

$$\int_{{\gamma}}^{}$$ω = $$\int_{{\gamma}}^{}$$f (z)dz = $$\int_{{a}}^{{b}}$$foγ(t)γ^′(t)dt

où γ([a, b]) = γ et γ^′(t) = x^′(t) + iy^′(t).

On a la propriété fondamentale :

Théorème 9.5.2   Soit f une fonction d'une variable complexe z si f est dérivable dans Ω alors on a

f (ζ) = $${\frac{{1}}{{2i\pi}}}$$$$\left[\vphantom{ \int_{\partial \Omega}\frac{f(z)}{z-\zeta}dz + ... ...rac{\partial f(z) \partial\overline{z}}{z-\zeta} dz\wedge d\overline{z}}\right.$$$$\int_{{\partial\Omega}}^{}$$$${\frac{{f(z)}}{{z-\zeta}}}$$dz + $$\int_{{\Omega}}^{}$$$${\frac{{\partial f(z) \partial\overline{z}}}{{z-\zeta}}}$$dz∧d$$\overline{{z}}$$$$\left.\vphantom{ \int_{\partial \Omega}\frac{f(z)}{z-\zeta}dz + ... ...rac{\partial f(z) \partial\overline{z}}{z-\zeta} dz\wedge d\overline{z}}\right]$$    ∀ζ∈Ω.

On en déduit immédiatement

Corollaire 9.5.3   Formule intégrale de Cauchy - Si f est holomorphe dans Ω, un domaine convexe de $\mathbbm$C alors

f (ζ) = $${\frac{{1}}{{2i\pi}}}$$$$\int_{{\partial\Omega}}^{}$$$${\frac{{f(z)}}{{z-\zeta}}}$$dz    ∀ζ∈Ω.

De plus on voit que f est infiniment dérivable avec

$${\frac{{d^{m}f}}{{dz^{m}}}}$$(ζ) = $${\frac{{m!}}{{2i\pi}}}$$$$\int_{{\partial\Omega}}^{}$$$${\frac{{f(z)}}{{(z-\zeta)^{m+1}}}}$$dz    ∀ζ∈Ω.

Théorème 9.5.4   Si f est holomorphe dans Ω alors pour tout chemin fermé γ dans Ω, on a

$$\int_{{\gamma}}^{}$$f (z)dz = 0

On dit que φ(s) = $\int_{{a}}^{{s}}$foγ(t)γ^′(t)dt est une primitive de f le long de γ.

Corollaire 9.5.5   Si f est holomorphe sur Ω, alors f est de classe C^∞ sur Ω.

Théorème 9.5.6   Si f est holomorphe dans Ω, alors f se décompose en série entière:

f (ζ) = $$\sum_{{n=0}}^{{\infty}}$$a_n(ζ - z₀)ⁿ        ∀z∈Ω  et  ζ∈V(z₀).

avec

a_n = $${\frac{{1}}{{m!}}}$$$${\frac{{d^{m}f}}{{dz^{m}}}}$$(z₀) = $${\frac{{1}}{{2i\pi}}}$$$$\int_{{\partial\Omega}}^{}$$$${\frac{{f(z)}}{{(z-z_{0})^{m+1}}}}$$dz.

Corollaire 9.5.7   Une fonction à variable complexe est holomorphe dans Ω si et seulement si elle est analytique dans Ω.

On termine par quelques résultats hors programmes mais néanmoins importants

Théorème 9.5.8   Si une fonction est holomorphe et non constante alors elle est ouverte

Corollaire 9.5.9   - Principe du maximum - Si f est une fonction holomorphe dans un ouvert complexe Ω, et si $\left\vert\vphantom{{f}}\right.$f$\left.\vphantom{{f}}\right\vert$ atteint son maximum à l'intérieur de Ω, alors f est une fonction constante sur Ω.

Théorème 9.5.10   Soit f une fonction holomorphe non nulle dans un ouvert complexe Ω, les zéros de f sont isolés.

En particulier si deux fonctions holomorphes ont des valeurs en un nombre infini de points dans un domaine borné, alors les deux fonctions sont identiques.

Série de Laurent

Soit f une fonction holomorphe sur une couronne a < $\left\vert\vphantom{{z-z_{0}}}\right.$z-z₀$\left.\vphantom{{z-z_{0}}}\right\vert$ < b, d'après la formule de Cauchy,

f (z) = $${\frac{{1}}{{2i\pi}}}$$$$\left[\vphantom{- \int_{C_{a}} \frac{f(u)}{u-z}du + \int_{C_{b}} \frac{f(u)}{u-z}du }\right.$$ - $$\int_{{C_{a}}}^{}$$$${\frac{{f(u)}}{{u-z}}}$$du + $$\int_{{C_{b}}}^{}$$$${\frac{{f(u)}}{{u-z}}}$$du$$\left.\vphantom{- \int_{C_{a}} \frac{f(u)}{u-z}du + \int_{C_{b}} \frac{f(u)}{u-z}du }\right]$$

or

$${\frac{{f(u)}}{{u-z}}}$$ = $${\frac{{f(u)}}{{u}}}$$$$\left[\vphantom{ \frac{1}{ 1-\frac{z}{u}}}\right.$$$${\frac{{1}}{{ 1-\frac{z}{u}}}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{1}{ 1-\frac{z}{u}}}\right]$$ = $${\frac{{f(u)}}{{u}}}$$$$\sum_{{n=0}}^{{\infty}}$$$$\left(\vphantom{\frac{z}{u}}\right.$$$${\frac{{z}}{{u}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{z}{u}}\right)^{{n}}_{}$$ = f (u)$$\sum_{{n=0}}^{{\infty}}$$$${\frac{{z^{n}}}{{u^{n+1}}}}$$

où la série est convergente si $\left\vert\vphantom{{z}}\right.$z$\left.\vphantom{{z}}\right\vert$ < $\left\vert\vphantom{{u}}\right.$u$\left.\vphantom{{u}}\right\vert$ ou encore $\left\vert\vphantom{{z-z_{0}}}\right.$z-z₀$\left.\vphantom{{z-z_{0}}}\right\vert$ < $\left\vert\vphantom{{u-z_{0}}}\right.$u-z₀$\left.\vphantom{{u-z_{0}}}\right\vert$.

D'autre part, on a de même

$${\frac{{f(u)}}{{u-z}}}$$ = $${\frac{{f(u)}}{{z}}}$$$$\left[\vphantom{ \frac{1}{ \frac{u}{u}-1} }\right.$$$${\frac{{1}}{{ \frac{u}{u}-1}}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{1}{ \frac{u}{u}-1} }\right]$$ = $${\frac{{-f(u)}}{{z}}}$$$$\sum_{{n=0}}^{{\infty}}$$$$\left(\vphantom{\frac{u}{z}}\right.$$$${\frac{{u}}{{z}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{u}{z}}\right)^{{n}}_{}$$ = - f (u)$$\sum_{{n=0}}^{{\infty}}$$$${\frac{{u^{n}}}{{z^{n+1}}}}$$

où la série est convergente si $\left\vert\vphantom{{z}}\right.$z$\left.\vphantom{{z}}\right\vert$ > $\left\vert\vphantom{{u}}\right.$u$\left.\vphantom{{u}}\right\vert$ ou encore $\left\vert\vphantom{{z-z_{0}}}\right.$z-z₀$\left.\vphantom{{z-z_{0}}}\right\vert$ > $\left\vert\vphantom{{u-z_{0}}}\right.$u-z₀$\left.\vphantom{{u-z_{0}}}\right\vert$.

Par conséquent, en remplaçant (u - z) par (u - z₀) - (z - z₀), on obtient

f (z) = $${\frac{{1}}{{2i\pi}}}$$$$\left[\vphantom{ \int_{C_{a}}f(u)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(u-z_{0... ...{C_{b}}f(u)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-z_{0})^{n}}{(u-z_{0})^{n+1}}du }\right.$$$$\int_{{C_{a}}}^{}$$f (u)$$\sum_{{n=0}}^{{\infty}}$$$${\frac{{(u-z_{0})^{n}}}{{(z-z_{0})^{n+1}}}}$$du + $$\int_{{C_{b}}}^{}$$f (u)$$\sum_{{n=0}}^{{\infty}}$$$${\frac{{(z-z_{0})^{n}}}{{(u-z_{0})^{n+1}}}}$$du$$\left.\vphantom{ \int_{C_{a}}f(u)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(u-z_{0... ...{C_{b}}f(u)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-z_{0})^{n}}{(u-z_{0})^{n+1}}du }\right]$$

Ainsi, on a montré le

Théorème 9.5.11   Soit f une fonction holomorphe sur une couronne a < $\left\vert\vphantom{{z-z_{0}}}\right.$z-z₀$\left.\vphantom{{z-z_{0}}}\right\vert$ < b, il existe un développement unique de f :

f (z) = $$\sum_{{n\in \mathbbm{Z}}}^{}$$a_n(z - z₀)ⁿ

avec

a_n = $${\frac{{1}}{{2i\pi}}}$$$$\left\{\vphantom{ \begin{aligned} \int_{C_{b}}\frac{f(u)}{ (z-... ...int_{C_{a}}\frac{f(u)}{ (z-z_{0})^{n+1}} du, \quad n <0 \end{aligned} }\right.$$$$\begin{aligned} \int_{C_{b}}\frac{f(u)}{ (z-z_{0})^{n+1}} du, ... ...C_{a}}\frac{f(u)}{ (z-z_{0})^{n+1}} du, \quad n <0 \end{aligned}$$

C'est le développement de f en série de Laurent dans la couronne a < $\left\vert\vphantom{{z-z_{0}}}\right.$z-z₀$\left.\vphantom{{z-z_{0}}}\right\vert$ < b.

La notion de série de Laurent permet de définir la notion de Résidu :

Définition 9.5.12   Soit f une fonction holomorphe dans Ω sauf en des points isolés (c'est toujours le cas). Le résidu de f en z_i∈Ω est la valeur complexe

Rés(f, z_i) = $${\frac{{1}}{{2i\pi}}}$$$$\int_{{\partial B(z_{i},\varepsilon)}}^{}$$f (z)dz,

pour $\varepsilon$ suffisamment petit, de sorte que f est holomorphe dans B(z_i,$\varepsilon$) $\setminus$ {z_i}.

C'est aussi le coefficient a_-1 du développement en série de Laurent de f autour de z_i.

Théorèmes des résidus

Soit f une fonction holomorphe dans Ω sauf en un nombre fini de points isolés {z₁,..., z_m} Soit $\varepsilon$ suffisamment petit pour que f soit holomorphe dans Ω $\setminus$ $\bigcup_{{i}}^{}$B(z_i,$\varepsilon$). Alors d'après le théorème 7.5.4, on a

$$\int_{{\partial\Omega}}^{}$$f (z)dz - $$\sum_{{i}}^{}$$$$\int_{{\partial B(z_{i}),\varepsilon}}^{}$$f (z)dz = 0.

Autrement dit nous avons le

Théorème 9.5.13   - Théorème des Résidus - Soit f une fonction holomorphe dans Ω sauf en un nombre fini de points isolés {z₁,..., z_m}, alors

$$\int_{{\partial\Omega}}^{}$$f (z)dz = 2iπ$$\sum_{{i}}^{}$$Rés(f, z_i).

Classification des Pôles singuliers

Pour faciliter le calcul d'un résidu, une classification est utile et permet de s'affranchir de la détermination du développement en série de Laurent.

Soit a un point de Ω qui apparaît comme un point singulier d'une fonction f, c'est à dire que f n'est pas holomorphe a priori en a. On classe ces pôles ou singularités suivant la possibilité de prolonger f (z)(z - a)^k en une fonction holomorphe au voisinage de a:

1. Singularité ou Pôle illusoire : Si f est prolongeable par continuité en a. Cela signifie que f est holomorphe en a, si bien que
   Rés(f, a) = 0.
   On parle de pôle d'ordre 0.
2. Singularité ou Pôle d'ordre k : Si (z - a)^kf (z) est prolongeable par continuité en a mais pas (z - a)^k-1f (z). Le résidu est alors obtenu par la formule intégrale de Cauchy :
   Rés(f, a) = $${\frac{{1}}{{(k-1)!}}}$$$${\frac{{d^{k-1}}}{{dz^{k-1}}}}$$$$\left[\vphantom{(z-a)^{k}f(z)}\right.$$(z - a)^kf (z)$$\left.\vphantom{(z-a)^{k}f(z)}\right]_{{\vert _{z=a}}}^{}$$.

3. Singularité essentielle : pour tout k∈$\mathbbm$N (z - a)^kf (z) n'est pas prolongeable par continuité, on a pas le choix, il faut trouver le développement en série de Laurent.
4. Singularité à l'infini : si a est un point à l'infini on pose :
   Rés(f (z),∞) = Rés(f (1/z), 0)

Théorème 9.5.14   Soit f une fonction holomorphe sauf en des points isolés. Alors la somme des résidus, résidu à l'infini compris est nulle.

Nous terminons par un résultat très utile en calcul des résidus:

Proposition 9.5.15   Soit a une singularité d'ordre 1 d'une fonction f. Si f s'exprime comme la fraction rationnelle irréductible de deux fonctions holomorphe,

f (z) = $${\frac{{P(z)}}{{Q(z)}}}$$,

alors

Rés(f, a) = $${\frac{{P(a)}}{{Q^{\prime}(a)}}}$$.

Représentation conforme

Une fonction holomorphe est une application conforme dans le sens où elle laisse les angles inchangés en valeur et en sens.