Théorie restreinte de la mesure
La mesure de Lebesgue

La théorie de la mesure est la base fondatrice de l'intégrale de Lebesgue qui suit dans le chapitre 9.

Nous donnons ici une présentation simplifiée de la théorie de la mesure. En effet, nous nous limitons à la mesure de Lebesgue, c'est à dire la mesure des parties de $\mathbbm$Rⁿ. En particulier, nous faisons l'impasse sur les notions fondatrices de la théorie classique de la mesure, comme la notion de tribu, de mesure σ-additive ou d'ensemble Borélien.

Pour un exposé complet nous renvoyons par exemple à ``Real and Complex Analysis'' de Walter Rudin ou tout cours de Mathématique sur le sujet (niveau Licence de Mathématiques). Nous pensons que cela n'est pas nécessaire pour un étudiant en Mécanique ou pour un élève ingénieur. Ce n'est sans doute pas l'avis de tous... Quant à l'éventuel étudiant en Mathématiques, il pourra voir cette présentation comme une introduction à la théorie abstraite.

Par contre, nous donnons directement une présentation sur un ensemble ouvert E⊂$\mathbbm$Rⁿ. E peut donc être borné ou non-borné. Puisque l'un des intérêt de la théorie est justement de s'affranchir d'une définition sur un intervalle comme c'est le cas pour l'intégrale de Riemann.