Ensemble élémentaire

Pavés et mesure d'un pavé

Définition 10.1.1   Un pavé P de E est un ensemble de E⊂$\mathbbm$Rⁿ qui peut s'écrire sous la forme de produit (tensoriel) d'intervalles réels contenant ou non leurs extrémités :

P = [a₁, b₁]×...×[a_n, b_n]

ou encore

P = [a₁, b₁[×...×]a_n, b_n]

etc, ...Les intervalles pouvant être ouverts ou non.

Définition 10.1.2   La mesure d'un intervalle [a, b] est sa mesure Euclidienne, c'est à dire sa longueur :

m([a, b]) = $$\left\vert\vphantom{{b-a}}\right.$$b-a$$\left.\vphantom{{b-a}}\right\vert$$.

La mesure d'un pavé de E⊂$\mathbbm$Rⁿ est le produit de la mesure des intervalles le constituant:

$$\begin{aligned} {{\mathtt{m}}}{( [a_{1},b_{1}]\times \dots \ti... ...= \prod_{i=1}^{n}\left\vert{b_{i}-a_{i}}\right\vert \end{aligned}$$

Ainsi, dans $\mathbbm$R² les pavés sont des rectangles et m() mesure l'aire, dans $\mathbbm$R³ m() mesure le volume.

Ensemble élémentaire et mesure d'un ensemble élémentaire

Définition 10.1.3   On dit qu'un ensemble est élémentaire s'il est réunion disjointe et dénombrable de pavés.

Si A = $\bigcup$P_k où les P_k sont des pavés 2 à 2 disjoints, alors

m(A) = $$\sum$$m(P_k).

Proposition 10.1.4   La mesure d'un ensemble élémentaire est indépendante du choix de sa décomposition.