Espace de Hilbert

Les espaces de Hilbert sont très importants car ils sont à la base des théorèmes d'existence pour les problèmes issues de la Mécanique, notamment en ce qui concerne les formulations variationnelles (ou principe des puissances virtuelles) qui entrent dans le cadre de la théorie de Lax-Milgram.

Définition 14.2.1   Soit H un espace vectoriel. Un produit scalaire sur H est une forme bilinéaire définie positive symétrique a(u, v) de H×H à valeur dans $\mathbbm$R. Une telle forme bilinéaire induit une norme

| u|_a = $$\left\{\vphantom{a(u,u)}\right.$$a(u, u)$$\left.\vphantom{a(u,u)}\right\}^{{\frac{1}{2}}}_{}$$.

Définition 14.2.2   Soit H un espace vectoriel muni d'un produit scalaire, on dit que H est un espace de Hilbert s'il est complet pour la norme associée au produit scalaire.

Ainsi, un espace de Hilbert est un cas particulier d'espace de Banach.

Quelques exemples d'espaces de Hilbert

• $\mathbbm$L²(Ω) est un Hilbert pour tout Ω mesurable avec le produit scalaire :
  (f, g)_{$\mathbbm$L²} = $$\int_{{\Omega}}^{}$$f (x)$$\overline{{g(x)}}$$dx

• H¹(Ω) est un Hilbert pour tout Ω mesurable avec le produit scalaire :
  (f, g)_{$\mathbbm$H¹} = $$\int_{{\Omega}}^{}$$f (x)$$\overline{{g(x)}}$$dx + $$\int_{{\Omega}}^{}$$∇f (x).$$\overline{{\nabla g(x)}}$$dx

Principaux résultats sur les Hilberts

Théorème 14.2.3   Représentation de Riesz - Soit L une forme linéaire continue définie sur un Hilbert H. Il existe un unique f∈H tel que

(f, v)_H = L(v)∀v∈H.

Théorème 14.2.4   Soit H un espace de Hilbert séparable, alors il existe une suite e_n∈H telle que

1. | e_n|_H = 1
2. (e_n, e_m)_H = δ_{n, m}
3. l'espace vectoriel engendré par les e_n est dense dans H :
   ∀u∈H    u = $$\sum_{{n=0}}^{{\infty}}$$a_ne_n
   avec
   a_n = (u, e_n)_H
   et
   | u|_H = $$\left\{\vphantom{\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}^{2}}\right.$$$$\sum_{{n=0}}^{{\infty}}$$a_n²$$\left.\vphantom{\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}^{2}}\right\}^{{\frac{1}{2}}}_{}$$.