Cas des opérateurs linéaires - Matrices carrés

Dans le cas d'un opérateur linéaire (i.e. un endomorphisme) de $\mathbbm$Rⁿ, la représentation matricielle est une matrice n×n. Une telle matrice, ayant le même nombre de ligne et de colonne, est dite carrée.

Adjoint d'un opérateur linéaire

Définition 3.4.1   Soit A un opérateur linéaire sur $\mathbbm$Rⁿ, l'opérateur adjoint A^* est défini par :

∀$$\bf{x}{,\vec{y}\in \mathbbm{R}^{n}, \quad \langle{A^{*}\vec{x}},{\vec{y}}\rangle =\langle{\vec{x}},{A\vec{y}}\rangle .$$

Proposition 3.4.2   Soit M la représentation matricielle d'un opérateur linéaire A de $\mathbbm$Rⁿ dans une certaine base orthonormée. Alors la représentation matricielle M^* de l'adjoint A^* dans cette même base est égale à la transposée de M.

M^* = M^⊥     ou encore     M^*_ij = M_ji.

Partie symétrique et antisymétrique d'un opérateur linéaire de $\mathbbm$Rⁿ

Définition 3.4.3   La partie symétrique d'un opérateur linéaire A de $\mathbbm$Rⁿ est égale à la somme de A et de A^* divisé par deux:

A_sym = $${\frac{{1}}{{2}}}$$$$\left(\vphantom{A + A^{*}}\right.$$A + A^*$$\left.\vphantom{A + A^{*}}\right)$$.

Définition 3.4.4   La partie antisymétrique d'un opérateur linéaire A de $\mathbbm$Rⁿ est égale à la somme de A et de - A^* divisé par deux:

A_antisym = $${\frac{{1}}{{2}}}$$$$\left(\vphantom{A - A^{*}}\right.$$A - A^*$$\left.\vphantom{A - A^{*}}\right)$$.

Proposition 3.4.5  

A	=	Asym + Aantisym,
Asym*	=	Asym,
Aantisym*	=	- Aantisym.

Proposition 3.4.6   La partie antisymétrique d'un opérateur linéaire A de $\mathbbm$Rⁿ définit de manière unique un vecteur $\bf{v}{$ de $\mathbbm$Rⁿ tel que

∀$$\bf{x}{ \in \mathbbm{R}^{n},\quad A_{antisym}\vec{x}= \vec{v}\wedge \vec{x}.$$

Par exemple dans $\mathbbm$R³, si $\bf{v}{=(v_{1},v_{2},v_{3})$, on a

$$\bf{v}{\wedge \vec{x} = \begin{pmatrix} v_{2}x_{3} - v_{3}x_{2} ... ... v_{1} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1} x_{2} x_{3} \end{pmatrix}$$