Déterminant

Déterminant de n vecteurs de $\mathbbm$Rⁿ

Le théorème suivant est également une définition :

Théorème 3.5.1   Soit E = $\mathbbm$Rⁿ, et soit ($\bf{x}{_{1},\dots,\vec{x}_{n})$ une base de E. Il existe une unique n-forme alternée définie sur Eⁿ appelée déterminant telle que

$$\det_{{(\vec{x}_{i})}}^{}$$($$\bf{x}{_{1},\dots,\vec{x}_{n}) = 1 .$$

Eⁿ désigne le produit d'espace E×E×...×E (n fois). Le déterminant étant alterné par définition, le déterminant de n vecteurs de E change de signe si on permute deux vecteurs :

$$\det_{{(\vec{x}_{i})}}^{}$$($$\bf{v}{_{1},\dots,\vec{v}_{j}, \dots,\vec{v}_{k},\dots,\vec{v}_{... ...c{x}_{i})}(\vec{v}_{1},\dots,\vec{v}_{k}, \dots,\vec{v}_{j},\dots,\vec{v}_{n}).$$

Par conséquent, le déterminant de n vecteurs est nul si deux vecteurs sont égaux :

$$\det_{{(\vec{x}_{i})}}^{}$$($$\bf{v}{_{1},\dots,\vec{v}_{j}, \dots,\vec{v}_{j},\dots,\vec{v}_{n}) = 0.$$

Plus généralement, si une famille de n vecteurs est lié, c'est-à-dire que au moins un des vecteurs est une combinaison linéaire des autres, par linéarité le déterminant est nécessairement nul.

Réciproquement, si une famille est libre, son déterminant est une combinaison linéaire non nulle du déterminant de la base. On énonce ainsi un critère pour déterminer si une famille de n vecteur de E est une base de ou non :

Théorème 3.5.2   Une famille ($\bf{v}{_{1},\dots,\vec{v}_{n})$ de n vecteurs de E = $\mathbbm$Rⁿ , est une base de E si et seulement si

$$\det_{{(\vec{x}_{i})}}^{}$$($$\bf{v}{_{1},\dots,\vec{v}_{n}) \neq 0.$$

Dans toute la suite, on définira toujours le déterminant rapporté à la base canonique de E plutôt qu'une base quelconque. Ainsi le déterminant ne sera désigné que par le symbole det.

Déterminant d'une matrice carré - Déterminant d'un opérateur linéaire

Soit A une matrice n×n, elle est donc constitué de n colonnes de matrices n×1, chacune d'elles représentant un vecteurs de $\mathbbm$Rⁿ (ou n'importe quel espace vectoriel de dimension n). Ainsi on peut définir le déterminant d'une matrice par l'intermédiaire de ses vecteurs colonnes :

Définition 3.5.3   Le déterminant d'une matrice carré est défini par le déterminant de ses vecteurs colonnes.

Proposition 3.5.4   Soit I la matrice identité n×n, par définition det I = 1.

Proposition 3.5.5   Soit A une matrice carré n×n,

det A = det A^t

Proposition 3.5.6   Soient A et B deux matrices n×n. Bien que A et B ne permutent pas en général, on a

det(AB) = det(BA) = det A det B.

Cette dernière propriété permet de définir d'un opérateur linéaire : Soit f un opérateur linéaire sur E et soit A une représentation matricielle de f dans une base ($\bf{x}{_{i})$ et B la représentation matricielle de f dans une autre base ($\bf{y}{_{i})$. Par conséquent il existe une matrice de passage P de la base ($\bf{x}{_{i})$ vers la base ($\bf{y}{_{i})$. Si bien que

det A = det(P^-1BP) = det(PP^-1B) = det B.

Autrement dit, si on définit le déterminant d'un opérateur linéaire par le déterminant de sa représentation matricielle dans une base, ce déterminant est indépendant du choix de la base.

Définition 3.5.7   Soit f un opérateur linéaire sur E et soit A une représentation matricielle de f dans une base ($\bf{x}{_{i})$

det f = det A.

Théorème 3.5.8   Un opérateur linéaire est bijectif ou inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

Règles de calcul d'un déterminant - Développement suivant une ligne ou une colonne

Soit A une matrice carré n×n dont les coefficients sont a_ij. On définit des sous-matrices extraites de A utiles pour le calcul d'un déterminant :

Définition 3.5.9   On appelle mineur de a_ij dans A, le déterminant de la sous matrice extraite de A ôtée de la i-ème ligne et la j-ème colonne. On le note Δ_ij.

Définition 3.5.10   On note ComA, la matrice dont les composantes notées A_ij sont les cofacteurs de A :

A_ij = (- 1)^i+jΔ_ij.

On dit que ComA est la matrice des cofacteurs de A.

Théorème 3.5.11   Soit A une matrice carré n×n dont les coefficients sont a_ij et soient A_ij ses cofacteurs.

On a alors le développement du déterminant suivant la i-ème ligne :

det A = $$\sum_{{j=1}}^{{n}}$$a_ijA_ij,

et le développement suivant la j-ème colonne :

det A = $$\sum_{{i=1}}^{{n}}$$a_ijA_ij.

Une conséquence immédiate est le calcul très simple du déterminant d'une matrice triangulaire supérieure (resp. inférieure), i.e. une matrice dont les coefficients au dessous (resp. au dessus) de la diagonale sont tous nuls :

Proposition 3.5.12   Soit A une matrice carré triangulaire, son déterminant est le produit de ses coefficients diagonaux.

Proposition 3.5.13   Soit A une matrice 2×2 de coefficients a_αβ,

det A = $$\left\vert\vphantom{ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}}\right.$$$$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}$$$$\left.\vphantom{ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}}\right\vert$$ = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁.

Preuve : On vérifie aisément que la forme linéaire ainsi définie est alternée et satisfait à det I = 1 où I désigne la matrice identité. Par définition, c'est le déterminant.

Ainsi pour calculer le déterminant d'une matrice 3×3 on peut développer suivant la 3-ème colonne (par exemple) :

$$\left\vert\vphantom{ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}}\right.$$$$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}$$$$\left.\vphantom{ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}}\right\vert$$ = (- 1)¹⁺³a₁₃$$\left\vert\vphantom{ \begin{matrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\end{matrix}}\right.$$$$\begin{matrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\end{matrix}$$$$\left.\vphantom{ \begin{matrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\end{matrix}}\right\vert$$ + (- 1)²⁺³a₂₃$$\left\vert\vphantom{ \begin{matrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}}\right.$$$$\begin{matrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}$$$$\left.\vphantom{ \begin{matrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}}\right\vert$$ + (- 1)³⁺³a₃₃$$\left\vert\vphantom{ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}}\right.$$$$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}$$$$\left.\vphantom{ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}}\right\vert$$.

On termine par une formule donnant l'inverse d'une matrice :

Théorème 3.5.14   Soit A une matrice carré n×n inversible, alors si A^-1 désigne son inverse on a

A^-1 = $${\frac{{1}}{{ \det A}}}$$Com A^t.