Intégrale multiple - Formule de Jacobi

On généralise naturellement la définition de l'intégrale sur un pavé à tout domaine se décomposant en une réunion finies et disjointe de pavés. Plus généralement pour domaine ω⊂$\mathbbm$Rⁿ on peut trouver une suite de domaine ω_n qui sont chacun des décompositions finies de pavés disjoints de $\mathbbm$Rⁿ. Alors,

$$\int_{{\Omega}}^{}$$f (x)dx = $$\lim_{{n\rightarrow \infty}}^{}$$$$\int_{{\Omega_{n}}}^{}$$f (x)dx

Par ailleurs si un domaine Ω est l'image d'un pavé D par une application T :

T(D) = Ω,

alors on peut montrer que le résultat suivant, généralisation aux intégrales multiples de la formule de changement de variable (3.2.7) :

Théorème 5.7.1   Formule de Jacobi - Formule de changement de variable.

$$\int_{{\Omega}}^{}$$f (x)dx = $$\int_{{D}}^{}$$f (T(u))$$\left\vert\vphantom{{J_{T}(u)}}\right.$$J_T(u)$$\left.\vphantom{{J_{T}(u)}}\right\vert$$du

où $\left\vert\vphantom{{J_{T}(u)}}\right.$J_T(u)$\left.\vphantom{{J_{T}(u)}}\right\vert$ est la Jacobienne (déterminant du gradient ou Jacobien) de l'application T(u) = x.

Preuve. Pseudo-preuve dans $\mathbbm$R² : un élément d'aire dudy se transforme en un élément dxdy par le changement de variable T.

l'aire du parallélograme dxdy peut être calculée par la formule

$\qedsymbol$

Exemples :

1. Considérons le cylindre Ω = {(x, y, z)∈$\mathbbm$R³  /  x² + y² -1≥0     et     0≤z≤1}, alors Ω est l'image de D = [0, 1]×[0, 2π]×[0, 1] en posant
   T(r, θ, z) = (r cosθ, r sinθ, z)
   si bien que
   J_T = =
   d'où $\left\vert\vphantom{{J_{T}(u)}}\right.$J_T(u)$\left.\vphantom{{J_{T}(u)}}\right\vert$ = r. On a ainsi :
   $$\int_{{\Omega}}^{}$$f (x, y, z)dxdydz = $$\int_{{D}}^{}$$f (r, θ, z)rdrdθdz.

2. Si Ω = {(x, y, z)∈$\mathbbm$R³  /  xyz≥0,    x + y + 1≤1}, alors Ω est l'image de D = [0, 1]³ en posant
   T(u, v, w) = (u(1 - v), uv(1 - w), uvw)
   si bien que
   J_T = $${\frac{{\partial (x,y,z)}}{{\partial (u,v,w)}}}$$ = $$\begin{pmatrix} 1-v & -u & 0 \\ v(1-w) & u(1-w) & -uv \\ vw & uw & uv \end{pmatrix}$$
   d'où $\left\vert\vphantom{{J_{T}(u)}}\right.$J_T(u)$\left.\vphantom{{J_{T}(u)}}\right\vert$ = u²v.