Fonctions mesurables

Limites de fonctions continues

Définition 10.3.1   Soit f une fonction à valeur réelle définie sur E⊂$\mathbbm$Rⁿ. On dit que f est mesurable si pour tout a∈$\mathbbm$R,

{x∈E    /    f (x) > a}

est un ensemble mesurable.

Proposition 10.3.2   Toute fonction continue sur E est mesurable dans E.

Théorème 10.3.3   Une f est mesurable si et seulement si pour tout $\varepsilon$ > 0 il existe une fonction continue $\varphi$ telle que

μ^*$$\left\{\vphantom{ x, \quad f(x)\neq \varphi(x) }\right.$$x,    f (x)≠$$\varphi$$(x)$$\left.\vphantom{ x, \quad f(x)\neq \varphi(x) }\right)$$≤$$\varepsilon$$}.

Autrement dit, les fonctions mesurables sont toutes les limites simples de fonctions continues. Cela entraîne immédiatement le résultat corollaire :

Corollaire 10.3.4   Toute limite simple de fonction mesurable est mesurable.

Propriétés des fonctions mesurables

Théorème 10.3.5   Si f est une fonction mesurable sur E, et si f_n désigne une suite de fonctions mesurables sur E, alors les fonctions

• $\left\vert\vphantom{{f}}\right.$f$\left.\vphantom{{f}}\right\vert$
• g(x) = $\sup_{{n}}^{}$f_n(x)
• h(x) = $\lim_{{\infty}}^{}$supf_n(x)

le sont également.

Classe des fonctions nulles presque partout

Définition 10.3.6   On dit qu'une fonction mesurable f est nulle presque partout sur E si il existe un ensemble de mesure nulle A tel que

f (x) = 0    ∀x∈E $$\setminus$$ A.

On note f = 0 p.p. sur E.

Comme l'union finie d'ensembles de mesure nulle est également de mesure nulle, on peut définir la relation d'équivalence

f∼g sur E     $$\Longleftrightarrow$$     f - g = 0 p.p. sur E