Quelques remarques

Sur les fonctions non-mesurables

L'ensemble des fonctions mesurables apparaît comme la fermeture (différent de la complétion) de l'ensemble ces fonctions continues au sens des limites simples.

Une question se pose alors: existe-t-il des fonctions non-mesurable ?

La réponse est oui, mais comme pour les ensembles non-mesurables, ils sont bien cachés.

On pourrait énoncer un pseudo-théorème : tous les ensembles usuels sont mesurables. toutes les fonctions usuelles sont mesurables.

Sur la théorie abstraite de la mesure

Les ensembles mesurables que nous avons définis correspondent par rapport à la théorie classique de la mesure, aux éléments de la tribu borélienne sur E⊂$\mathbbm$Rⁿ, à savoir la plus petite σ-algèbre contenant les ouverts de E. On l'appelle la mesure de Lebesgue.

Cela signifie que dans la théorie classique les théorèmes 8.2.4 et 8.2.5 apparaissent comme des définitions. La notion de mesure et d'ensemble mesurable est bien plus générale que telle que nous le présentons.