Mathématiques pour la Mécanique

Daniel Choï ^1.1
LMNO
Groupe Mécanique Modélisation Mathématique et Numérique

Date: Version Novembre 2008

Avertissement

Ce document est inspiré d'un cours enseigné par l'auteur à l'Université de Caen en Licence de Mécanique et de divers manuels de Mathématiques tels que [Rud95], [Car85], [Sch67], [Que64], [Dix76]. Il était anciennement intitulé Mathématiques pour la Licence de Mécanique. Initialement destiné aux étudiants en Mécanique, nous espérons cependant qu'il puisse être utile aux élèves ingénieurs par la généralité des thèmes abordés.

Il s'agit principalement de définir les bases mathématiques nécessaires à la modélisation, l'analyse avant même l'éventuelle résolution (essentiellement numérique) d'un problème en mécanique.

Ainsi, nous avons identifiés les notions d'algèbre linéaire, de calcul différentiel, de calcul intégral, de la résolution de systèmes différentiels ordinaires, comme bases indispensables à maîtriser pour tout étudiant en mécanique ou en sciences de l'ingénieur.

Viennent ensuite diverses notions comme la théorie des fonctions d'une variable complexe qui vont essentiellement servir à la recherche de solutions analytiques au niveau L3 ou qui pourront avoir un rôle plus large et théorique au niveau Master. La théorie de l'intégrale de Lebesgue, base de l'analyse fonctionnelle, est fondamentale pour justifier sur un plan mathématique toute la modélisation en Mécanique des milieux continus et notamment la justification d'un problème bien posé. Elle permet également de bien définir la transformation de Fourier qu'on retrouve à peu près partout en Mécanique. Mais il n'est pas nécessaire pour un étudiant en Mécanique ou à un élève ingénieur de la maîtriser : on se contentera de présenter les résultats les plus important en ce qui nous concerne. Vient ensuite la théorie des distributions, permettant de représenter notamment les cas de des charges ponctuelles donnant un sens généralisé à la notion de dérivée. Nous terminons par une très courte introduction à l'analyse fonctionnelle en présentant les espaces de Hilbert et en particulier les espaces de Sobolev donnant le cadre théorique des problèmes bien posé et au delà de la théorie, les bases de la méthode des éléments-finis, omniprésent dans la résolution numériques des problèmes issus de la mécanique.

Ce Document est encore et toujours incomplet, il manque un certain nombre de résultats, ne contient pratiquement pas démonstrations et surtout ce document manque cruellement d'exemples : il ne se substitue en aucune façon à un vrai cours de Mathématiques.

Il est possible (probable) qu'il contienne des erreurs, même graves. Toutes contributions suggestions ou commentaires sont les bienvenus : envoyez moi un email à choi@meca.unicaen.fr

Une version au format pdf est disponible ici : http://www.meca.unicaen.fr/Enseignement/Document/CoursChoi/mathmeca.pdf

Une version avec cadres est disponible ici : http://www.meca.unicaen.fr/Enseignement/Document/CoursChoi/mathmeca-frame/index.html