Annexe : quelques preuves

Preuve du théorème 1.2.4

Supposons que X soit de dimension égale à n et soit ( $\bf{x}{_{1},\dots,\vec{x}_{n})$ une base de X. D'après la linéarité de A, l'image de A est engendré par le système de n vecteurs S = (A $\bf{x}{_{1},\dots,A\vec{x}_{n})$ , on en déduit que S engendre X (autrement dit que A est surjectif) si S est un système libre.

Montrons que si A est injectif alors A est surjectif.

Si A est injectif, cela signifie que A $\bf{x}{=0 \Longrightarrow \vec{x}=0$ . Or si

$\displaystyle \sum_{{i=1}}^{{i=n}}$ α_i $\displaystyle \bf{x}{_{i} =0$

on a par linéarité de A

A $\displaystyle \left(\vphantom{ \sum_{i=1}^{i=n} \alpha_{i}\vec{x}_{i}}\right.$ $\displaystyle \sum_{{i=1}}^{{i=n}}$ α_i $\displaystyle \bf{x}{_{i}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \sum_{i=1}^{i=n} \alpha_{i}\vec{x}_{i}}\right)$ = 0 $\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle \sum_{{i=1}}^{{i=n}}$ α_i $\displaystyle \bf{x}{_{i} =0$

mais comme les $\bf{x}{_{i}$ sont une famille libre, on obtient que les coefficients α_i sont nécessairement tous nuls. Autrement dit que le système S est libre.

Réciproquement, montrons que si A est surjectif alors A est injectif.

Si A est surjectif cela signifie que le système S est libre. Alors si $\bf{x}{=\sum \alpha_{i}\vec{x}_{i}$ annule l'opérateur A : A $\bf{x}{ = 0$ , alors par linéarité on a

0 = A( $\displaystyle \bf{x}{) = A \left(\sum_{i=1}^{i=n} \alpha_{i} \vec{x}_{i}\right) = \sum_{i=1}^{i=n} \alpha_{i} A (\vec{x}_{i})$

mais puisque S est une famille libre, cela signifie que les coefficients α_i sont tous nuls, autrement dit que $\bf{x}{$ est nécessairement nul, ce qui prouve que A est injectif.

Preuve du théorème 1.2.8

Soit $\bf{x}{$ un vecteur tel que | $\bf{x}{$ | = 1. $\bf{x}{$ se décompose dans la base canonique sous la forme

$\displaystyle \bf{x}{=\sum_{i=1}^{i=n}\alpha_{i}\vec{e}_{i}.$
Puisque | $\bf{x}{$ | = $\left(\vphantom{{\sum_{i=1}^{i=n}\alpha_{i}^{2}}}\right.$ $\sum_{{i=1}}^{{i=n}}$ α_i² $\left.\vphantom{{\sum_{i=1}^{i=n}\alpha_{i}^{2}}}\right)^{{1/2}}_{}$ = 1. On a alors nécessairement $\left\vert\vphantom{{\alpha_{i}}}\right.$ α_i $\left.\vphantom{{\alpha_{i}}}\right\vert$ ≤1, d'où

| A $\displaystyle \bf{x}{$ | = | $\displaystyle \sum_{{i=1}}^{{i=n}}$ α_iA( $\displaystyle \bf{e}{_{i})$ |≤ $\displaystyle \sum_{{i=1}}^{{i=n}}$ $\displaystyle \left\vert\vphantom{{\alpha_{i}}}\right.$ α_i $\displaystyle \left.\vphantom{{\alpha_{i}}}\right\vert$ | A $\displaystyle \bf{e}{_{i}$ |≤ $\displaystyle \sum_{{i=1}}^{{i=n}}$ | A $\displaystyle \bf{e}{_{i}$ |≤n < + ∞
Puisque nous avons pour tout $\bf{x}{$ , $\bf{y}{\in \mathbbm{R}^{n}$ , | A $\bf{x}{ - A\vec{y}$ |≤| A|| $\bf{x}{-\vec{y}$ |, on en déduit l'uniforme continuité.
De la linéarité de A, nous obtenons facilement

|(A+B) $\displaystyle \bf{x}{$ |≤| A( $\displaystyle \bf{x}{)+B(\vec{x})$ |≤| A( $\displaystyle \bf{x}{)$ | + | B( $\displaystyle \bf{x}{)$ |≤(| A| + (| B|)| $\displaystyle \bf{x}{$ |
de même

| αA( $\displaystyle \bf{x}{)$ | = $\displaystyle \left\vert\vphantom{{\alpha}}\right.$ α $\displaystyle \left.\vphantom{{\alpha}}\right\vert$ | $\displaystyle \bf{x}{$ |.
Enfin, on a

|(BA) $\displaystyle \bf{x}{$ |≤| B(A $\displaystyle \bf{x}{)$ |≤| B|| A $\displaystyle \bf{x}{$ |≤| B|| A|| $\displaystyle \bf{x}{$ |

Preuve de la proposition 1.3.4

Soit $\bf{x}{\in X$ , de coordonnées α_i dans la base ( $\bf{x}{_{1},\dots,\vec{x}_{n})$ , d'après l'inégalité de Schwarz on a

| A( $\displaystyle \bf{x}{)$ |² = $\displaystyle \sum_{{i=1}}^{{m}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{ \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\alpha_{j} }\right.$ $\displaystyle \sum_{{j=1}}^{{n}}$ a_ijα_j $\displaystyle \left.\vphantom{ \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\alpha_{j} }\right)^{{2}}_{}$ ≤ $\displaystyle \sum_{{i=1}}^{{m}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{ \sum_{j=1}^{n} a_{ij}^{2} \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}^{2} }\right.$ $\displaystyle \sum_{{j=1}}^{{n}}$ a_ij² $\displaystyle \sum_{{k=1}}^{{n}}$ α_k² $\displaystyle \left.\vphantom{ \sum_{j=1}^{n} a_{ij}^{2} \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}^{2} }\right)$ ≤ $\displaystyle \sum_{{i,j}}^{}$ a_ij²| x|².

choi 2008-12-22