Application linéaire

Dans toute la suite, sauf indication contraire, un espace vectoriel désignera un espace vectoriel réel.

Définition 3.2.1 Une application A d'un espace vectoriel E vers un espace vectoriel F est une application linéaire si

A( $\bf{x}{_{1}+\vec{x}_{2}) = A(\vec{x}_{1}) + A(\vec{x}_{2})$ pour tout $\bf{x}{_{1},\vec{x}_{2}\in E$ .
A(α $\bf{x}{)= \alpha A(\vec{x})$ pour tout $\bf{x}{ \in E$ et tout scalaire α.

Pour désigner une application linéaire, on lit parfois homomorphisme, dans un langage plus savant^3.2.

On note souvent A $\bf{x}{$ , l'image d'un vecteur $\bf{x}{$ par une application linéaire A, au lieu de A( $\bf{x}{)$ . C'est essentiellement parce qu'en représentation matricielle (voir plus loin) l'application ou la composition s'assimile à un produit de matrice.

Remarquons que si A est une application linéaire alors on a nécessairement

A( $\displaystyle \bf{0}{) = \vec{0}.$

Proposition 3.2.2 Une application linéaire est entièrement déterminée par les images des vecteurs d'une base.

En effet, si ( $\bf{x}{_{1},\dots,\vec{x}_{n})$ est une base de E alors tout vecteur $\bf{x}{$ se décompose de manière unique

$\displaystyle \bf{x}{= \sum_{i=1}^{i=n} \alpha_{i}\vec{x}_{i}.$

Alors la linéarité de A permet de calculer A( $\bf{x}{)$ à partir des vecteurs A( $\bf{x}{_{i})$ :

A( $\displaystyle \bf{x}{)= \sum_{i=1}^{i=n} \alpha_{i}A(\vec{x}_{i}).$

Opérateurs linéaires

Une application linéaire d'un espace vectoriel E à image dans E est appelée opérateur linéaire sur E (on lit aussi endomorphisme sur E).

Définition 3.2.3 Si A est un opérateur linéaire sur E qui établit une bijection de E vers E, on dit que A est inversible. On peut alors définir l'application réciproque A^-1 de E vers E par la relation

A^-1(A $\displaystyle \bf{x}{)= \vec{x}.$

On a également A(A^-1 $\bf{x}{)= \vec{x}$ et A^-1 est linéaire.

Théorème 3.2.4 Soit A un opérateur linéaire sur un espace vectoriel de dimension finie E, alors les conditions suivantes sont équivalentes

A est injectif
A est surjectif
A est bijectif

Preuve en annexe 1.7.1.

Signalons tout de même que ce théorème n'est plus vrai si E est de dimension infinie: pensez à l'espace vectoriel des suites numériques et l'application qui enlève le premier élément de la suite^3.3 qui est une application surjective de l'espace des suites vers lui même mais qui n'est pas injective puisque le noyau n'est pas réduit à 0, c'est à dire la suite infinie de 0..

Encore quelques définitions :

Définition 3.2.5 On note $\mathscr$ L(E, F) l'ensemble des applications linéaires d'un espace vectoriel E vers une espace vectoriel F.

Dans le cas des opérateurs linéaires, au lieu de $\mathscr$ L(E, E) on écrit plus simplement $\mathscr$ L(E).

Si A₁ et A₂ sont dans $\mathscr$ L(E, F) et si α₁ et α₂ sont deux scalaires, on définit l'application α₁A₁ + α₂A₂ par

(α₁A₁ + α₂A₂) $\displaystyle \bf{x}{ = \alpha_{1}A_{1} \vec{x} + \alpha_{2}A_{2}\vec{x}, \qquad \vec{x}\in E.$

Naturellement on a (α₁A₁ + α₂A₂)∈ $\mathscr$ L(E, F).

Définition 3.2.6 Si E, F et Z sont trois espaces vectoriels et si A∈ $\mathscr$ L(E, F), B∈ $\mathscr$ L(F, Z), on définit leur produit BA comme étant la composée de A et B :

(BA) $\displaystyle \bf{x}{= B(A \vec{x}) \qquad \vec{x}\in E.$

On a alors BA∈ $\mathscr$ L(E, Z).

Soulignons que même si E = F = Z, le produit d'opérateurs linéaires ne commute pas, i.e.

AB≠BA en général.

Définition 3.2.7 Pour A∈ $\mathscr$ L( $\mathbbm$ Rⁿ, $\mathbbm$ R^m), on peut définir une norme de A par le sup de tous les vecteurs | A $\bf{x}{$ | quand $\bf{x}{$ parcourt la boule unité de $\mathbbm$ Rⁿ centrée en 0 :

| A| = $\displaystyle \sup_{{{\Vert{\vec{x}}\Vert}_{}=1}}^{}$ | A $\displaystyle \bf{x}{$ |.

Par linéarité, on a alors toujours l'inégalité :

| A $\displaystyle \bf{x}{$ |≤| A|| $\displaystyle \bf{x}{$ |.

Théorème 3.2.8

Si A∈ $\mathscr$ L( $\mathbbm$ Rⁿ, $\mathbbm$ R^m) alors | A| < + ∞ et A est une application uniformément continue sur $\mathbbm$ Rⁿ.
Si A, B∈ $\mathscr$ L( $\mathbbm$ Rⁿ, $\mathbbm$ R^m) et si α est un scalaire alors

| A+B|≤| A| + | B| | αA| = $\displaystyle \left\vert\vphantom{{\alpha}}\right.$ α $\displaystyle \left.\vphantom{{\alpha}}\right\vert$ | A|.
Si A∈ $\mathscr$ L( $\mathbbm$ Rⁿ, $\mathbbm$ R^m) et B∈ $\mathscr$ L( $\mathbbm$ R^m, $\mathbbm$ R^p) alors

| BA|≤| A|| B|.

Preuve en annexe 1.7.2.

Quelques exemples d'espaces vectoriels et d'applications linéaires

On note $\mathbbm$ R_n[X] l'ensemble des polynômes réels de degré ≤n.
L'espace des fonctions définies sur un intervalle de $\mathbbm$ R (c'est un e.v. de dimension infinie)
L'ensemble des applications linéaires de $\mathbbm$ Rⁿ dans $\mathbbm$ R^m.
L'espace des matrices n×m (de dimension mn).
L'ensemble des solutions d'une équation différentielle ordinaire homogène linéaire à coefficients constants ou non (dimension finie).
L'ensemble des solutions d'une équation aux dérivée partielles linéaires homogène.

Exercice : Pour chacun de ces exemples donner un sous-espace vectoriel.

choi 2008-12-22